$\int_{0}^{\pi} \frac{3\sin^2(2x)}{x^{1/2}}\,dx$. Converge o diverge?

Question

$$\int_{0}^{\pi} \frac{3\sin^2(2x)}{x^{1/2}}\,dx$$

Puedo utilizar C. T. para los números que no son hasta el infinito?

Intento:

Para $x \in (0, \pi]$, $$f(x) = \frac{3\sin^2(2x)}{x^{1/2}} \geq 0.$$

Para $x \in (0, \pi]$, $$f(x) = \frac{3\sin^2(2x)}{x^{1/2}} \leq \frac{3}{x^{1/2}} = g(x).$$

Considere la posibilidad de $\int_{0}^{\pi} g(x)\,dx$

$$3\lim_{A\to0^+} \int_{A}^{\pi} \frac{1}{x^{1/2}}\,dx=3 \lim_{A\to0^+} 2x^{1/2}\bigg|_{A}^{\pi} = 6\pi^{1/2}.$$

Por lo tanto, $\int g(x)\,dx$ converge y por la prueba de comparación lo hace $\int f(x)\,dx$.

Es esto correcto?

Answer 1

Alternativamente, mediante el cambio de variable $$ u=x^{1/2}, \quad 2du=\frac{dx}{x^{1/2}}, $$ uno se $$ \int_{0}^{\pi} \frac{3\sin^2(2x)}{x^{1/2}}dx=6\int_{0}^{\sqrt{\pi}} \sin^2(2u^2)\:du $$ the latter integral does exist since the integrand is continuous over $[0,\sqrt{\pi}]$.

Answer 2

Otra manera de mirar esto es observar que han \begin{align} \int^\pi_0 \frac{3\sin^2 2x}{x^{1/2}}\ dx = 12\int^\pi _0 x^{3/2}\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)^2\ dx = 12\int^{\pi}_0 x^{3/2}\operatorname{sinc}^2(2x)\ dx \end{align} donde \begin{align} f(x) = x^{3/2}\operatorname{sinc}^2(2x) \end{align} es continua. Por lo tanto la integral es finito.

Answer 3

El único lugar donde podría haber problemas es de alrededor de $x=0$ debido a que la función se apartó de $0$.

Alrededor de $0$, $\sin(x) = O(x)$, así $\sin^2(2x) = O(x^2)$ así que $\sin^2(2x)x^{-1/2} = O(x^{3/2})$ que es integrable alrededor de $0$.

De modo que la integral existe.