Existencia de una fórmula analítica para una integral definida

Question

Sería muy útil que la siguiente integral definida o una similar tuviera solución analítica:

$$\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\mathrm{sech}^2(x)\exp(-\alpha x^2)\,\mathrm dx,\qquad \alpha \geq 0$$

Ahora he atacado este problema desde varias direcciones, incluyendo la integración de contornos (la gaussiana explota a lo largo de Re=0), la diferenciación bajo el signo (sin suerte), y la interpretación como el valor esperado cuando se muestrea con una cierta distribución (porque ambas funciones pueden interpretarse así fácilmente).

A mí me parece que esto podría tener una buena fórmula porque ambas funciones por separado lo hacen, hay mucha simetría, y el integrando me parece sólo un montón de exponenciales. Sólo quería saber si alguien tenía una razón de peso por qué esto no tendrá una solución analítica 'agradable' - o incluso lo que la intuición de algunas personas con más experiencia es con respecto a mi probabilidad de éxito o la dirección de mis esfuerzos.

Answer 1

Sea

$$\begin{eqnarray*} I(\alpha ) &:&=\int_{-\infty }^{+\infty }\left( \text{sech }\left( x\right) \right) ^{2}\exp (-\alpha x^{2})\ \mathrm{d}x \\ &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\left( \cosh x\right) ^{-2}\exp (-\alpha x^{2})\ \mathrm{d}x\qquad (1) \\ &=&\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{4}{\left( e^{x}+e^{-x}\right) ^{2}}e^{-\alpha x^{2}} \ \mathrm{d}x. \end{eqnarray*}$$

Wolfram Alpha no puede evaluar $I(\alpha )$ en términos de funciones matemáticas estándar, por lo que lo más probable es que no exista una forma cerrada para ello. En SWP Tengo la siguiente expansión:

que reescribí como

$$I(\alpha )=\sum_{k=0}^{\infty }4\left( -1\right) ^{k+1}e^{\frac{\left( k+1\right) ^{2}% }{\alpha }}\sqrt{\pi }\left( -1+\mathrm{erf }\left( \frac{k+1}{\sqrt{\alpha }}% \right) \right) \frac{k+1}{\sqrt{\alpha }},\qquad (2)$$

donde $\mathrm{erf }(x)$ es el función de error

$$\mathrm{erf }\left( x\right) =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt.\qquad(3)$$

En cuanto a la función de error complementario

$$\mathrm{erfc }(x)=1-\mathrm{erf }(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm{d}t\qquad (4)$$

puede escribirse como

$$I(\alpha )=\frac{4\sqrt{\pi }}{\sqrt{\alpha }}\sum_{k=0}^{\infty } \left( -1\right) ^{k}e^{\left( k+1\right) ^{2}/\alpha } \left( k+1\right)\ \mathrm{erfc }\left( \frac{1}{\sqrt{\alpha }}\left( k+1\right) \right) . \qquad (5)$$

Para $\alpha =1/2$ , ambos $(1)$ y $(5)$ dé $I(1/2)\approx 1.5183$ para $\alpha =1$ , $I(1)\approx 1.2874$ y para $\alpha =10$ , $I(10)\approx 0.53494.$