Triangular un triángulo

Question

Es ampliamente conocido que podemos cuadrar un cuadrado, lo cual se define de la siguiente manera:

"Cuadrar un cuadrado" es cubrir un cuadrado con longitudes laterales enteras con cuadrados más pequeños con longitudes laterales enteras.

En realidad es muy simple; podemos, por ejemplo, cubrir un cuadrado de $2\times2$ con cuatro cuadrados unitarios. Así, la gente ha pensado en la restricción de que todas las baldosas deben tener diferentes tamaños, a la que han llamado perfecta. Resulta que esto es posible, siendo el cuadrado perfectamente cuadrado más pequeño un cuadrado de $112\times112$:

Mi pregunta es simple: ¿podemos hacer lo mismo con triángulos equiláteros? ¿Significa esto que podemos cubrir un triángulo equilátero con longitudes laterales enteras con triángulos equiláteros más pequeños con longitudes laterales enteras (pero todas diferentes)? Si es así, ¿cuál sería el triángulo perfectamente triangular más pequeño?

EDITAR:

He estado pensando y creo que estoy acercándome.

Echemos un vistazo a la tesela de triángulo más pequeña (la llamaremos $\tau$). Vamos a dividir los casos.

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Caso 1: $\tau$ está en un vértice. Si el pequeño triángulo es una ficha en uno de los tres vértices del triángulo principal, entonces le queda un borde; solo triángulos más pequeños o del mismo tamaño que $\tau$ pueden llenar ese borde, pero $\tau$ era el triángulo más pequeño. Esto es imposible.

Caso 2: $\tau$ está en el borde. Si $\tau$ está en el borde del triángulo principal, pero no en la esquina, entonces uno de los lados de $\tau$ está tocando el de un triángulo más grande, lo que hace que esas dos baldosas vecinas se solapen. Esto también es imposible.

Supongamos ahora que $\tau$ no está en el borde del triángulo principal.

Caso 3: Un borde de $\tau$ está tocando un vértice. Si un borde está tocando un vértice, entonces, dado que las baldosas vecinas son más grandes, tenemos lo siguiente (la baldosa naranja siendo $\tau$, ignore que el triángulo azul es del mismo tamaño, no importa):

Lo cual hace que este caso sea equivalente al caso 2.

Y luego el último caso es cuando ninguno de los anteriores se cumple, pero estoy bastante atascado en eso.

Answer 1

No creo que sea posible con un número finito de triángulos equiláteros.

Primero me di cuenta de que no se puede colocar un triángulo no equilátero con triángulos equiláteros (porque los vértices del triángulo no equilátero tienen un ángulo $\theta \neq 60$, por lo que no se puede pegar un triángulo equilátero allí). Así que no podemos dividir y conquistar.

Luego pensé en el triángulo de Sierpinski; sin embargo, habría una cantidad horrible de triángulos repetidos que necesitaríamos dividir posteriormente de una manera diferente. Para hacer eso, necesitamos averiguar las diferentes maneras de dividir un triángulo equilátero con triángulos equiláteros (volviendo al principio).

Ahora consideremos un triángulo equilátero (TE para abreviar) con lado $n=q!$ donde q es un número muy grande (para que tengamos muchos divisores).

La única manera en que podemos dividir la cosa es así: Revestimiento de TE

Consideremos una baldosa inicial de tamaño $mn-m$. Eso significa que tenemos una fila de TE con lado $n-m$. Si intentamos dividir el TE de lado $m, tenemos el mismo problema nuevamente, tenemos otra fila con muchos triángulos pequeños del mismo tamaño (como se muestra en la figura).

Así que tenemos que enfocarnos en los triángulos con lado $n-m$, necesitamos dividirlos de otra manera, por lo que necesitamos averiguar las diferentes formas de hacerlo (volviendo al principio). Cada vez que divides un triángulo de una manera dada, obtienes aún más TE que necesitas cuidar.