Es la transformación de Legendre una opción única en mecánica analítica?

Question

Considere la posibilidad de un Lagrangiano $L(q_i, \dot{q_i}, t) = T - V$, para la energía cinética $T$ y generalizada potencial de $V$, en un conjunto de $n$ independiente coordenadas generalizadas $\{q_i\}$. Asumiendo que el sistema es holonomic y monogénicas, se sigue de Hamilton del principio de que $L$ satisface de Euler-Lagrange las ecuaciones:

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0.$$

El Lagrangiano es convexa con respecto a las velocidades generalizadas $\{\dot{q_i}\}$, por lo que es natural considerar a sus asociados de Legendre de transformación:

$$H(q_i, p_i, t) = \sup_{\dot{q}_i} [\dot{q}^i p_i - L(q_i, \dot{q_i}, t)],$$

donde el $p_i = \partial L / \partial \dot{q_i}$ son el conjugado momenta. Se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento de $H$ son:

$$ \dot{p_i} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad \dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \frac{dH}{dt} = - \frac{\partial L}{\partial t}$$

En este sentido, $H$ no es otro que el Hamiltoniano del sistema. Si bien es evidente que $H$ conduce a una imagen satisfactorio de la mecánica clásica, podría existir otra función de las variables canónicas $(q_i, p_i)$ con sus propias ecuaciones de movimiento?

Pregunta: ¿existe un nontrival no de la transformación de Legendre $\mathcal{T}$ de manera tal que la función definida por $F(q, p, t) = \mathcal{T}[L(q, \dot{q}, t)]$ contiene la totalidad de la dinámica del sistema?

Answer 1

Pregunta: ¿existe un nontrival no Legendre transformación T tales que la función definida por F(q,p,t)=T[L(q,q,t)] contiene la totalidad de la dinámica del sistema?

Respuesta: cualquier función que calcula las ecuaciones de movimiento bajo algún tipo de reglas que el estado es una función para describir la dinámica. En particular, cualquier función que se puede colocar en un principio de la acción y tomar productos derivados de los mismos dando lugar, después de algunos pasos, para las ecuaciones de movimiento.

Dicho esto, el Lagrangiano y Hamiltoniano descripciones no equivalente. Sólo si la matriz Hessiana con respecto a las posiciones y velocidades es invertible en cualquier punto del dominio de la configuración del espacio, que en general no ocurre en el campo de las teorías y de partículas que interactúan teorías (no es así para el punto de partículas, aunque). Cualquier siempre es invertible función de $\tau[\mathcal{L}(q,\dot{q},t)]$ puede equivalentemente describir la dinámica del sistema ya que, debido a invertibility, siempre se puede expresar $q,\dot{q}$ en términos de las otras variables que se introducen mediante Dini del teorema sobre funciones implícitas (siempre que su hipótesis).

Sin embargo, hay algo que hace que quiera utilizar el Hamiltoniano-Lagrange transformación de Legendre, que es exactamente lo que @ACuriousMind estados anteriormente en la descripción de la gráfica de una función por su tangente en cualquier punto (velocidad). Aparte de eso, usted puede introducir fácilmente cualquier otra función que desee y tomar productos derivados de los mismos.

Answer 2

Edificio en las respuestas de ACuriousMind y Gennaro Tedesco, voy a hacer un intento de proporcionar una satisfactoria, aunque no matemáticamente riguroso, respuesta.

Pregunta: ¿existe un nontrival no Legendre transformación T tales que la función definida por F(q,p,t)=T[L(q,q,t)] contiene la totalidad de la dinámica del sistema?

Sí, cualquier invertible transformación que tiene una función de $(q,\dot{q}, t)$ a una función de $(q, p, t)$ producirá la correcta dinámica del sistema. Considere la posibilidad de una invertible transformación de $\mathcal{T}$ de la Lagrangiana $L(q, \dot{q}, t)$ tal que

$$A(q, p, t) = \mathcal{T}[L(q, \dot{q}, t)],$$

donde $p$ es el impulso conjugado de a $q$. Hamilton principio, se requiere que el primer pedido de variación de la acción de asumir cero, es decir,

$$\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q, \dot{q}, t) dt = 0.$$

Sustituyendo $A$ en la integral de los rendimientos

$$\delta \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{T}^{-1}[A(q,p,t)] dt = 0.$$

Deje $F(q,p,t) = \mathcal{T}^{-1}[A]$. El integrando en consideración depende de forma independiente en $q$$p$, por lo tanto cero variación de la integral implica que el de Euler-Lagrange las ecuaciones de movimiento, de manera independiente, satisfecho por tanto $q$$p$:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial F}{\partial q} = 0,$$ $$\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{p}} - \frac{\partial F}{\partial p} = 0.$$

Como ACuriousMind y Phoenix87 correctamente el punto, el Hamiltoniano generado por la transformación de Legendre es una elección natural. Esto es debido al hecho de que proporciona una forma sistemática para ir de una función convexa $f(x)$ a en su vertiente de representación de $g(s)$ donde $s = f'(x)$.