Derivar la fórmula de la distancia de coordenadas baricéntricas

Question

por favor, perdone el pobre formato. (Trabajaré en aprenderlo a tiempo; acabo de empezar esta cuenta para ver ayuda con esta pregunta.)

Recientemente he empezado a aprender sobre geometría afín y coordenadas baricéntricas, y tengo una pregunta sobre la fórmula de distancia para las coordenadas baricéntricas. La página de Wikipedia sobre Sistema de coordenadas baricéntricas da dos versiones de esta fórmula, y aunque no tengo problemas para probar la primera, (primero tomé el punto producto del vector de desplazamiento $PQ$ mientras que el ajuste $A$ al origen, como lo hizo el autor de la Gaceta Matemática, citado por Wikipedia; también lo probé estableciendo el origen al circuncentro del triángulo $ABC$ . Además, seguí otra cita en dicho artículo que debería haber llevado a una respuesta, pero por desgracia, ese artículo declaró el resultado sin siquiera un "la prueba es obvia").

mi "prueba" de la segunda se basa en una manipulación algebraica (muy simple) que carece de intuición/motivación geométrica. Sí, funciona, pero debería haber un argumento mejor. (Ambas formas están escritas abajo.)

Esencialmente, mi pregunta es esta: ¿puede alguien ayudarme a probar la segunda forma, pero sin probar primero la primera forma? (Presumiblemente, tal prueba proporcionaría la intuición geométrica que estoy buscando.) He estado así durante días y está empezando a llegarme, he intentado muchos enfoques diferentes.

El ajuste: Triángulo $ABC$ está orientada positivamente; $P, Q$ son vectores en el plano de $ABC$ con $P, Q$ que tienen coordenadas baricéntricas normalizadas/homogéneas $P= [p_1, p_2, p_3], Q= [q_1,q_2,q_3].$ Así, el vector de desplazamiento $PQ= [q_1-p_1,q_2-p_2,q_3-p_3]=[x,y,z],$ con $x+y+z=0.$

Formulario $1$ : (no hay problemas aquí) $ \textrm {dist}(P,Q)^2 = -yza^2-xzb^2-xyc^2.$

Formulario $2$ (sujeto de mi pregunta-y sí, estoy familiarizado con la identidad de la polarización y su relación con los coeficientes de abajo, también estoy familiarizado con las coordenadas baricéntricas del circuncentro y la similitud con esos coeficientes, pero no estoy seguro de cómo relacionar los dos en una prueba).

$ \textrm {dist}(P,Q)^2 = \frac12\ {(b^2+c^2-a^2)x^2 + (a^2+c^2-b^2)y^2 + (b^2+a^2-c^2)z^2\}.$

Gracias por cualquier ayuda/orientación se agradece mucho. Este me tiene perplejo.

Answer 1

Es un buen problema. En primer lugar, suponemos que estamos en un plano afín sobre un espacio de producto interior como el plano euclídeo. Esto significa que el producto punto (interior) define una medida de distancia de segmentos de línea mediante $\;\textrm{dist}(P,Q)^2 = |PQ|^2 = (Q-P)\cdot(Q-P).\;$ Ahora, dado un triángulo de referencia $ABC$ con laterales $\;a,b,c\;$ tenemos $\;a^2=|BC|^2,\;b^2=|AC|^2,\;c^2=|AB|^2.$

Queremos la longitud de un segmento de recta $\;PQ=Q-P=xA+yB+zC,\;$ donde $\;0 = x+y+z.\;$ Ahora $\;|PQ|^2 = (xA+yB+zC)\cdot(xA+yB+zC) = (x+y+z)(|A|^2x+|B|^2y+|C|^2z) + T,$ donde $T = -yz|B-C|^2-xz|A-C|^2-xy|A-B|^2 = -yza^2-xzb^2-xyc^2.\;$ Desde $\;0 = x+y+z,\;$ entonces $\;|PQ|^2=T\;$ que demuestra la forma $1$ .

El espacio lineal de las cuadráticas con base $(x^2,xy,y^2),$ suponiendo que $\;0=x+y+z,\;$ también tiene bases $(xy,xz,yz)\;$ y $\;(x^2,y^2,z^2).\;$ Utilizamos uno de ellos para la forma $1$ . Utilizando la otra base, suponemos que $\;|PQ|^2=ux^2+vy^2+wz^2.\;$ Pero $\;a^2=|BC|^2=v+w,\;$ $b^2=|AC|^2=u+w,\;$ $c^2=|AB|^2=u+v.\;$ Resolución de $\;u,v,w\;$ prueba la forma $2$ .