"Bueno" subconjuntos de números naturales

Question

Se define un subconjunto a de enteros positivos como "Buena" si es posible escribir sus miembros como $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$ así que MCD de dos números consecutivos $a_i$ $a_{i+1}$ es mayor que $1$. Comprobar y demostrar la "Bondad" de los dos siguientes sets:

1. Conjunto de los enteros positivos mayores que $1$
2. Conjunto de cuadrados mayor que $1$

¿Cómo resolver este problema?

Answer 1

Para la pregunta 1, definimos $a_1,a_2,\ldots$ de forma recursiva. Supongamos que tenemos ya definido $a_k$$1\le k<n$.

• Si $n$ es impar, vamos a $a_n$ ser el número más pequeño todavía no se ha utilizado.
• Si $n$ es incluso, deje $a_n$ ser el más pequeño todavía no se ha utilizado adecuada múltiples de $a_{n-1}$ $m$ donde $m$ es el número más pequeño todavía no se ha utilizado. (Por cierto, va a suceder que $a_{n+1}=m$)

Esto garantizará que la $a_{2n}$ es divisible por tanto $a_{2n-1}$$a_{2n+1}$.

Answer 2

Para facilitar la notación, voy a utilizar la convención que $n = \{ 0, 1, \ldots, n -1 \}$ todos los $n \in \mathbb N$. (Esta es la norma en la teoría de conjuntos, pero menos común en otras ramas.)

Primero, permítanme abordar el conjunto de los números naturales $>1$: Este juego es realmente bueno. Deje $\{ p_{n} \mid n \in \mathbb N \}$ ser una enumeración de todos los números primos y deje $S$ ser el conjunto de todas las secuencias finitas $s \colon n \to \{0,1\}$ tal que $s(n-1) = 1$. Fijar una enumeración $S = \{ s_n \mid n \in \mathbb N \}$ tal que para todos los $n \in \mathbb N$ hay algo de $i \in \mathbb N$ tal que $s_n(i) = 1 = s_{n+1}(i)$. Tal enumeración existe y puede ser obtenido de la siguiente manera: $$ 1, 11, 10, 111, 100, 101, 110, 1111, 1000, 1001, \ldots $$ Tenga en cuenta que esto es sólo contar en binario con un ligero giro: Siempre tenemos que introducir un nuevo dígito, lo primero que asignar un $1$ a todos estos dígitos, por lo tanto la obtención de $2^{n}-1$ algunos $n \in \mathbb N$, y luego continuar a la lista de los números por debajo de $2^{n}-1$, en orden ascendente, que no han sido incluidos todavía.

Ahora vamos a $c_n = \prod_{i=0}^{\operatorname{dom}s_n -1 } p_i^{s_n(i)}$. Es fácil comprobar que $\{c_n \mid n \in \mathbb N \}$ testigos de la bondad de $\mathbb N^{+} \setminus \{1\}$. (Claramente $\{c_n \mid n \in \mathbb N\}$ enumera $\mathbb N^{+} \setminus \{1\}$ $(c_n, c_{n+1}) > 1$ siguiente de la elección de nuestra enumeración $\{s_n \mid n \in \mathbb N \}$.)

Como P Vanchinathan señaló en su comentario, esto implica inmediatamente que $\{ n^2 \mid n \in \mathbb N^+ \setminus \{1\} \}$ es buena.