El ejercicio con la máxima y mínima absolutas

Question

Encontrar el máximo absoluto y el mínimo de la función $\ f(x,y,z)= \ x^2+\ y^2+\ z^2 $ en el conjunto de $ \{(x,y,z): x^2=z^2+1 \}$.

Mi solución y pregunta: Para encontrar los puntos críticos he utilizado la fórmula

$ L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda(g(x,y,z))$

que en mi caso resulta ser

$L(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2+\lambda(x^2-z^2-1)$ por lo tanto se derivan

\begin{equation} \begin{cases} 2x+2x\lambda=0 \\ 2y=0 \\ 2z-2z\lambda=0 \\ x^2-z^2-1=0 \end{casos} \end{equation} haciendo todos los pasos se llega a tener \begin{equation} \begin{cases} \lambda=-1\\ y=0\\ z=0\\ x=\pm 1 \end{casos} \end{equation} Por lo tanto, obtener los puntos críticos $\;(-1,0,0)\;$ e $\; (1,0,0)\;$

va a reemplazar en la función de $\;f(x,y,z)\;$ obtenemos dos puntos el valor de $1.$

Así son los dos puntos de máximo?Y cuál es el mínimo?

Answer 1

Como una alternativa

$$f(x,y,z)= \ x^2+\ y^2+\ z^2 \land x^2=z^2+1 \implies g(y,z)=y^2+2z^2+1$$

y

• $g_y=2y=0$
• $g_z=4z=0$

por lo tanto, de acuerdo a su derivación de puntos críticos son $(\pm 1,0,0)$.

Para concluir señalar que desde

$$g(y,z)=y^2+2z^2+1\ge 1$$

y

$$g(y,z)=1 \iff y=z=0$$

ambos puntos están a punto de mínimo global.

Answer 2

$f(x,y,z)=1+2z^{2}+y^{2}\geq 1$ $f(x,y,z)=1$ al $y=z=0$ $x=1$ por lo que el valor mínimo es de $1$. No se te pide para encontrar los puntos críticos, así que esta es una respuesta completa. La función no está acotada, de modo sup es $\infty$.

Answer 3

Para clasificar si es un max/min punto, calcular el bordeado de Hessde la matriz: $$\bar{H}=\begin{vmatrix}0&\phi_x&\phi_y&\phi_z\\ \phi_x&L_{xx}&L_{xy}&L_{xz}\\ \phi_y&L_{yx}&L_{yy}&L_{yz}\\ \phi_z&L_{zx}&L_{zy}&L_{zz}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2x&0&-2z\\ 2x&2+\lambda&0&0\\ 0&0&0&2\\ -2z&0&2&2-2\lambda\end{vmatrix},$$ donde $\phi(x,y,z)=x^2-z^2-1$. Menores de edad: $$\begin{align}\bar{H}_1&=\begin{vmatrix}0&2x\\ 2x&2+\lambda\end{vmatrix}=-4x^2<0; \\ \bar{H}_2&=0;\\ \bar{H}_3&=-16x^2<0.\end{align}$$ Esta es la condición mínima. Por lo tanto, los puntos son locales mínimo de puntos.

Answer 4

Para determinar si es el mínimo o máximo, no es un método sistemático, pero muy complicado. Sin embargo, para su pregunta, se nota que al $|z|$ es lo suficientemente grande, por lo que es$|x|$$f$. Por lo tanto, $f$ es ilimitado anterior, es decir, no tiene máximo. A continuación, ambos de su punto sólo podría ser de mínimo. Desde $$ f(x,y,z) = y^2 +2z^2 +1\geqslant 1 $$ en el set, y claramente $f(\pm 1,0,0)=1$, con lo que los puntos son los puntos mínimos.