Cómo Calcular el $x^6+x^3y^3+y^6$

Question

Dado que el $x,y$ números reales tales que :

$x^2+xy+y^2=4$

Y

$x^4+x^2y^2+y^4=8$

¿Cómo se puede calcular :

$x^6+x^3y^3+y^6$

Alguien puede darme la pista .

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(x^2+xy+y^2)^2-2xy(x^2+xy+y^2)=x^4+x^2y^2+y^4 $$ así que $$ xy = 1.$$ Entonces $$\begin{align}x^6+x^3y^3+y^6&=(x^4+x^2y^2+y^4)(x+xy+y^2)-xy^5-2x^2y^4-2x^4y^2-yx^5\\ &=8\cdot 4-xy(x^4-2x^3y-2xy^3-y^4)\\ &=32-1\cdot ((x^4+x^2y^2+y^4)-xy(2x^2-xy-2y^2))\\ &=24+1\cdot(2(x^2+xy+y^2)-3xy)\\ &=29 \end{align} $$ (Supongo que) Sólo seguir restando los productos más simples y los poderes de los polinomios para deshacerse de moniomials no divisible por $xy$, luego se dividen $xy$ desde el resto y continúe. Alternativamente a lo anterior, usted también puede empezar restando $(x^2+xy+y^2)^3$, lo que también sería "matar" la $x^6$$y^6$.

Answer 2

¿por qué no. $$ x^4 + x^2 y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy+y^2). $$ Vale la pena memorizar. Así $$ x^2 - xy + y^2 = 2. $$ También $$ 2xy = 2, \; \; \; xy=1. $$ Y $$ x^2 + y^2 = 3. $$ $$ 27 = (x^2 + y^2)^3 = x^6 + 3 x^4 y^2 + 3 x^2 y^4 + y^6 = x^6 + y^6 + 3 x^2 y^2 (x^2 + y^2) = x^6 + y^6 + 3 \cdot 1 \cdot 3 = x^6 + y^6 + 9 $$ Así, $$x^3 y^3 = 1, \; \; \; x^6 + y^6 = 18, $$ $$ x^6 + x^3 y^3 + y^6 = 19. $$

Answer 3

Denotar $a=x/y$, $b=xy$.

Entonces $$a+1+\frac{1}{a}=\frac{4}{b},$$ $$a^2+1+\frac{1}{a^2}=\frac{8}{b^2},$$ $$a^3+1+\frac{1}{a^3}=?$$

Luego de la $1$st ecuación: $$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = \left(\frac{4}{b}-1\right)^2, $$ la combinación con $2$nd ecuación, $\Rightarrow$ $b=1$.

Entonces, $a+\frac{1}{a}=3$, $a^2+\frac{1}{a^2}=7$; por lo tanto,$a^3+\frac{1}{a^3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right) - \left(a+\frac{1}{a}\right) = 21-3=18$.

A continuación,$a^3+1+\frac{1}{a^3}=19$. Myltiplying por $b^3=1$, $\Rightarrow$ $x^6+x^3y^3+y^6=19$.