¿Cuándo es posible interpretar la composición como una transformación natural?

Question

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para cualquier objeto $X$ , $Y$ y $Z$ en una categoría $C$ podemos obtener un morfismo $\bigcirc: Z^Y \times Y^X \rightarrow Z^X$ de la siguiente manera. Definimos $\bigcirc$ como $\lambda (eval_{Z^Y} \circ (id_{Z^Y} \times eval_{Y^X}))$ . Esto está bien definido porque: $$id_{Z^Y} \times eval_{Y^X}:Z^Y \times Y^X \times X \rightarrow Z^Y \times Y$$ $$eval_{Z^Y} \circ (id_{Z^Y} \times eval_{Y^X}) : Z^Y \times Y^X \times X \rightarrow Z$$ $$\lambda(eval_{Z^Y} \circ (id_{Z^Y} \times eval_{Y^X})) : Z^Y \times Y^X \rightarrow Z^X$$

(Todavía no he demostrado que esto sea asociativo o que respete las identidades). Ahora, ¿cuál es la forma en que se podría interpretar $\bigcirc$ como una transformación natural (en alguna categoría para la que se definen todos los objetos exponenciales.) Mi mayor problema ahora mismo es cómo interpretar $Z^Y \times Y^X$ como un functor.

¿O hay una forma diferente de interpretar la composición como una transformación natural?

Answer 1

Buena pregunta. Como dice el usuario43208 en los comentarios, supongo que está asumiendo $\newcommand{\CC}{\mathcal{C}}\CC$ es cartesiano cerrado en todo momento.

La forma más directa de ver esto como una transformación natural es considerar $Y$ como fijo. Entonces $Z^Y \times Y^X$ y $Z^X$ pueden verse como funtores de dos variables, contravariantes en $X$ y covariante en $X$ es decir, como funtores $\newcommand{\op}{\mathrm{op}}\CC^\op \times \CC \to \CC$ .

Un poco mejor es ver $Z^Y \times Y^X$ como "isovariante" en $Y$ es decir, ver ambos como funtores $\CC^\op \times \CC^{\mathrm{iso}} \times \CC \to \CC$ . (Dejaré los detalles de este enfoque como ejercicio).

Pero lo mejor de todo (de nuevo como dice user43208) es pasar al lenguaje de dinatural y extranatural transformaciones, que fue diseñado exactamente para este tipo de situación, donde se tiene una construcción como $Z^Y \times Y^X$ que es covariante en algunos casos de un argumento y contravariante en otros. Puede encontrar todos los detalles en el laboratorio n pero, a grandes rasgos, la forma en que funciona es dividiendo las instancias co y contravariantes de $Y$ en dos argumentos diferentes, $Y_+$ y $Y_-$ y pensando en el functor de cuatro variables $Z^{Y_-} \times Y_+^X : \CC^\op \times \CC \times \CC^\op \times \CC \to \CC$ y de la misma manera pensando en $Z^X$ como un functor de esas cuatro variables (en el que $Y_+$ , $Y_-$ que resulta que no aparece). Entonces, un dinatural la transformación entre estos es una familia de mapas $\alpha_{X,Y,Z}$ entre "instancias diagonales" (es decir, instancias en las que ambos $Y_+$ , $Y_-$ reciben el mismo valor $Y$ ), satisfaciendo una condición de naturalidad que dice que para cualquier $X,Y_+, Y_-,Z$ y el mapa $f : {Y_-} \to Y_+$ las dos formas diferentes de llegar desde $Z^{Y_-} \times Y_+^X$ a $Z^X$ son los mismos.

(Ejercicio: ¡dibuja este diagrama de naturalidad! Pista: los "dos caminos diferentes" van por $Z^{Y_+} \times {Y_+}^X$ y $Z^{Y_-} \times {Y_-}^X$ respectivamente).

Estos tres enfoques requieren sucesivamente más lenguaje para su puesta en marcha; pero encapsulan cada vez más la naturalidad de esta operación de composición.