Condiciones de una medida

Question

Supongamos que tenemos una medida $\mu$ en $\mathbb R_+$ tal que $\forall s>0$ $t^s\in L^1(\mathrm d\mu(t))$ pero las funciones $\mathbf{1}_{t>0}$ y $\mathbf{1}_{t\in (0,1)}$ no son necesariamente en $L^1(\mathrm d\mu(t))$ .

Me gustaría imponer algunas condiciones a $\mu$ por lo que la función

$$f:p\to \frac{\int_0^\infty t^p \mathrm d\mu(t)}{\int_0^\infty t^{p-1}\mathrm d\mu(t) },\quad p>1$$ es monótona en $(1,\infty)$ . Por ejemplo, si $\mathrm d\mu(t)=e^{-t}\mathrm d t$ entonces $f(p)=p$ . Otro ejemplo es $\mathrm d\mu(t)= \mathbf{1}_{t\in (0,1)}\mathrm d t$ , $f(p)=p/(p+1)$ (también monótono).

De alguna manera esto me recuerda al Teorema de Riesz-Thorin pero no veo cómo aplicarlo aquí.

¿Hay algún resultado sobre este tema (o similar)? ¿Cuáles son las posibles formas de abordar este problema?

Answer 1

Para dejar una respuesta aquí, publicaré una idea de prueba sugerida por Mateusz Wasilewski en Mathoverflow( enlace ): de hecho, el resultado se deduce rápidamente de la log-convexidad de la aplicación $p\to\int_{0}^\infty t^p\mathrm d\mu(t)$ (se puede establecer por la desigualdad de Hölder).