Ayudar en la evaluación de una Integral sobre un intervalo

Question

Así que se me ha dado la Integral y su respuesta.

$$\int_4^\infty\frac{1}{x^2+16}\,\text{d}x$$

El libro utiliza Trigonométricas sustitución y tiene la respuesta:

$${1\over 16}\left.\left(4\arctan\left({x\over 4}\right)\right)\right|_4^\infty$$*the last symbol means from $(4, \infty)$.

Sé cómo evaluar a los 4, pero estoy teniendo problemas para encontrar la integral en el infinito. Estoy confundido sobre cómo evaluar y resolver este cuando arctan va al infinito? Por favor, ayudar.

Answer 1

La función tangente significa opuesto sobre adyacente. El arco-tangente de la función toma esta relación y le da el ángulo que da esta relación. Así que ¿qué significa el triángulo de parecer cuando el contrario es infinitamente más grande que el adyacentes?

Ahora sólo seguir adelante, ¿qué ángulo es $\theta$ acerca?

Esperemos que se vea que se acerca a $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ (usted debe siempre usar radianes cuando tomar integrales participación de los ángulos).

Answer 2

Arco tangente se aproxima a un valor límite:

Esto es lo que usted necesita para utilizar en el límite de la integración. En efecto: $$ \int_4^\infty \frac{dx}{x^2+4^2} = \lim_{t \to \infty} \int_4^t \frac{dx}{x^2+4^2} = \lim_{t \to \infty} \left[\frac{1}{4}\arctan\frac{x}{4}\right]_{x=4}^{x=t} $$