¿Cuál es el rango de excentricidad de la elipse tal que sus focos no subtienden ningún ángulo recto en su circunferencia?
Pensé que la excentricidad sería definitivamente más que $0$ y menos de $\frac{1}{\sqrt2}$ Este último valor es para una elipse con $ae=b$ en el que se subtiende un ángulo recto en un extremo del eje menor.
Su respuesta es correcta, salvo que $0$ debe incluirse (no hay ángulos rectos subtendidos en un círculo).
Aquí hay una solución completa:
Utilizando la parametrización $P=(a \cos\theta, b\sin\theta)$ para una elipse centrada en el origen con radio mayor $a$ (en el $x$ dirección) y radio menor $b$ (en el $y$ dirección), considere los focos en los puntos $F_{\pm}=(\pm c, 0)$ , donde $a^2 = b^2 + c^2$ .
$\angle F_{+}PF_{-}$ será un ángulo recto si y sólo si
$$(F_{+}-P)\cdot(F_{-}-P) = 0 \tag{$ \N - La estrella $}$$
Eso es, $$\begin{align} 0 &= (c - a \cos\theta )(-c-a\cos\theta) + (0 - b \sin\theta)(0-b\sin\theta) \\[4pt] &= -c^2 + a^2 \cos^2\theta + b^2\sin^2\theta \\[4pt] &= -c^2+a^2\cos^2\theta + ( a^2-c^2)(1-\cos^2\theta) \\[4pt] &= a^2 - 2 c^2 + c^2 \cos^2\theta \tag{1} \end{align}$$ Escribir $c = ae$ , donde $e$ es la excentricidad, podemos factorizar $a^2$ para conseguir $$e^2\cos^2\theta = 2 e^2 - 1 \tag{2}$$ Para que $(2)$ para que sea solucionable para $\theta$ obviamente debemos tener $e\neq 0$ (para que $\theta$ aparece en la ecuación en absoluto); entonces, para los casos de $e$ ya que $0\leq \cos^2\theta \leq 1$ la solvencia de $(2)$ requiere $$ 0 \leq 2-\frac{1}{e^2}\leq 1 \quad\to\quad 2 \geq \frac{1}{e^2}\geq 1 \quad\to\quad \sqrt{\frac{1}{2}} \leq e \leq 1 \tag{3}$$
En otras palabras, la ecuación es no que puede ser resuelto por $\theta$ ---es decir, no hay ángulos rectos subtendidos--- para $e < {1\over\sqrt{2}}$ o $e > 1$ (aunque descartamos esta última posibilidad, ya que tales excentricidades pertenecen a hiperbolas ). Por lo tanto, el rango deseado de excentricidades es
$$0 \leq e < \frac{1}{\sqrt{2}} \tag{$ |star $}$$
@Azul La solución dada, posiblemente. Probablemente era una pregunta de deberes y el OP no encontró la respuesta. Ahora que ella tiene tiene la respuesta, resulta que lo obtenido y lo dado no coinciden.
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Eso parece correcto: $(0,2^{-1/2})$ . El ángulo máximo de una elipse dada se produce en los puntos extremos del eje menor.
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Yo cambiaría el enunciado del problema para decir que el segmento entre sus focos subtiende un ángulo recto desde ningún punto de la frontera. El distancia entre los focos es un número (al igual que la circunferencia), y los números no subtienden ángulos.