¿Es la clase de grupos finitos una clase de Fraïssé? Llamando a esta clase $K$, ¿cumple $K$ con lo siguiente:
- Propiedad de incrustación conjunta
- Propiedad de amalgamación
- Propiedad hereditaria: si $G \in K$ y $H \le G$, entonces $H \in K$
(1) se cumple porque si $G, H \in K$, entonces $G \times H \in K$ también. Obviamente, tanto $G$ como $H$ son subgrupos de $G \times H$.
(2) parece cumplirse. Supongamos que $G_1, G_2 \in K$, con $H = G_1 \cap G_2$. Entonces, el producto libre amalgamado $G_1 *_H G_2$ contiene tanto a $G_1$ como a $G_2 como subgrupos. Sin embargo, ¿es cierto que $G_1 *_H G_2$ es finito?
(3) se cumple porque las subestructuras de grupos finitos son nuevamente grupos finitos. Por definición, las subestructuras deben contener el elemento neutro y deben estar cerradas bajo la operación del grupo. Además, cada elemento tiene inverso, porque todos tienen orden finito (eventualmente llegarás al inverso multiplicando un elemento por sí mismo sucesivamente). La asociatividad es universal, por lo que también se cumple. Entonces, cada subestructura es también un (sub)grupo.
¿Es correcto mi razonamiento? Apreciaría algún tipo de prueba de que los productos libres amalgamados de grupos finitos también son finitos, si esto es cierto, o algún contraejemplo si no lo es, porque no sé mucho sobre productos libres amalgamados.
