Integrabilidad de Lebesgue y funciones medibles

Question

Sea $f$ sea una función no negativa sobre los reales. ¿Qué significa la mensurabilidad (de Lebesgue) de $f$ tienen que ver con la integrabilidad (Lebesgue) de $\int f$ ? He pasado algún tiempo estudiando la definición en Wikipedia y no veo cómo la mensurabilidad entra en la ecuación (aparte del hecho de que se menciona explícitamente al principio). Si $f$ es tal que toda función simple menor que $f$ tiene integral menos que algunos $x\in\Bbb R$ entonces $\int f\in\Bbb R$ se define, independientemente de la mensurabilidad de $f$ . ¿Qué "propiedades esenciales" se pierden sin la asunción de $f$ ¿se puede medir?

Discurso completo: He hecho esta pregunta antes pero puse demasiado texto relacionado tangencialmente en la página, por lo que probablemente perdí algunos espectadores.

Answer 1

Un problema evidente sería la pérdida de linealidad. Consideremos un conjunto no medible $A\subseteq\mathbb[0,1]$ . Entonces su medida exterior es diferente de su medida interior, es decir $\mu_*(A)<\mu^*(A)<\infty$ y $$1\ne\mu_*(A)+(1-\mu^*(A))=\int_{[0,1]}\chi_A+\int_{[0,1]}(1-\chi_A)\ne\int_{[0,1]}1=1$$ donde $\chi_A$ es la función característica de $A$ .

Answer 2

¿Has visto alguna vez esta imagen en capas de la idea que subyace a la integral de Lebesgue? (Tomado de Wikipedia):

La construcción azul es la integral de Riemann, la construcción roja es la integral de Lebesgue. Sea $f=f(x)$ sea la función que está integrando. Considera la aproximación de su integral dada por los rectángulos rojos. Cada rectángulo tiene área $$A_j= y_j \cdot \text{Lenght of }\{ x\in [a, b]\ :\ y_{j-1}< f(x)\le y_j\},$$ donde $y_j$ es la posición vertical de las esquinas superiores. Medición de $f$ te dice exactamente que la longitud del conjunto $\{ x\in [a, b]\ :\ y_{j-1}< f(x)\le y_j\}$ está bien definida.