Me gustaría saber si existe una integral indefinida que no es diferenciable? Es esto posible? Es decir, quiero saber si existe una función real F definida en un intervalo de $[a,b]$ por la ecuación $$F(x)=F(a)+\int_a^x f(t) dt $$ where $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es sólo Riemman integrable, que F no es diffentiable de una función de este tipo? ¿Podría dar un ejemplo? Gracias de antemano!
Respuesta
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El teorema fundamental del cálculo dice que $F$ es continua y diferenciable en cada punto donde $f$ es continua. Así que para obtener un ejemplo, usted debe tomar las $f$ discontinua. Por ejemplo, si $f(x)=0$ $x<0$ $f(x)=1$ $x\ge0$ ( $a=0$ )$F(x)=0$$x<0$$F(x)=x$$x\ge0$, lo $F$ no es diferenciable en el punto de $x=0$.
