Knapp (Álgebra Básica) Prop 8.52, error?

Question

La anterior proposición dice:

Deje $R$ ser un Noetherian anillo y deje $I$ $P$ ser ideales de $R$ donde $P$ es un alojamiento ideal. Si $IP=I$,$I=0$.

Siento que esto es falso. Después de pasar la localización en $P$ y el uso de Nakayama, se puede conseguir fácilmente $S^{-1}I=0$ ($S=R-P$), a partir de la cual podemos concluir que el $sI=0$ algunos $s\in S$. ¿Cómo podemos concluir que $I=0$?

Alternativamente, podemos utilizar el Corolario 2.5 de Atiyah y Macdonald directamente a la conclusión de que $xI=0$ donde$x=1+p$$p\in P$.

La prueba que allí se indican dice desde las $I$ es un subconjunto de $S^{-1}I$, $I=0$. Esto es falso, a menos que $R$ es un dominio, ¿no?

Answer 1

Sí, el destacado la proposición es falsa, como se muestra por la siguiente contraejemplo:
Dado un campo $k$, tome $R=k\times k$$I=P=k\times \{0\}$. A continuación,$IP=I$, y sin embargo $I\neq0$.