Simplificación de expresiones.

Question

¿Cómo se simplifica la siguiente expresión?

$$Q=(1-\tan^2(x)) \left(1-\tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)\right)\cdots \left(1-\tan^2\left(\frac{x}{2^n}\right)\right)$$

He probado lo siguiente: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$$\cos x = \frac{\sin 2x}{2\sin x}$$

$$\tan x = \frac{2\sin^2x}{\sin2x}$$

$$Q= \left( 1- \left(\frac{2\sin^2x}{\sin2x}\right)^2\right) \left(1-\left(\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin x}\right)^2\right) \cdots \left(1-\left(\frac{2\sin^2\frac{x}{2^{n+1}}}{\sin(\frac{x}{2^n})}\right)^2\right)$$

Pero no tengo ni idea de cómo continuar.

Se agradece la ayuda.

Answer 1

Una pista: $$ 1-\tan^2 t=\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}=\frac{\cos(2t)}{\cos^2t} $$ y para argumentos de la forma $\frac{x}{2^n}$ muchas cosas se desvanecerán en el producto.

Answer 2

Una pista más directa proviene de la fórmula del ángulo doble tangente:

$$ \tan(2x) = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2 x}. $$

Entonces verá que tiene un producto telescópico.