trigonométricas de identidad relacionados con la $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\sin(n^{2})}{\sqrt{n}} $

Question

Como la tarea que me fue dada la siguiente serie para comprobar la convergencia:

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(n)\sin(n^{2})}{\sqrt{n}} $

y la punta era "el uso apropiado de la identidad".

Estoy tratando de utilizar de Dirichlet de la prueba y demostrar que es el producto de un null monótona secuencia y una limitada serie, pero no puedo averiguar qué trig. la identidad es necesaria.

Puede alguien me apunte hacia la dirección correcta?

Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia: Usted puede demostrar que $$ \sum\limits_{n=1}^N\sin(n)\sin(n^2)=\frac{1}{2}(1-\cos(N^2+N)) $$ Para ello el uso de identidad $$ \sin(\alpha)\sin(\beta)=\frac{1}{2}(\cos(\alpha\beta)-\cos(\alpha+\beta)) $$