Categoría de la teoría de los resúmenes de la noción de la conservación de la estructura por medio de morfismos. Hay una descripción de lo que significa para preservar la estructura de los diferentes tipos de estructuras matemáticas (espacios topológicos, módulos, anillos, etc.)?
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Jeff
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Yo interpreto la pregunta siguiente: ¿Qué significa para un mapa para preservar la estructura (y por lo tanto de ser llamado un morfismos)?
A muy grandes rasgos, hay dos tipos de estructuras: estructura Algebraica y la estructura topológica.
A) estructura Algebraica de un conjunto es determinado por un conjunto de operaciones de algunos arities tal que ciertas ecuaciones de espera. Un mapa conserva esta estructura algebraica si conmuta con las operaciones en el sentido obvio. Ejemplos son el grupo de homomorphisms entre los grupos, anillo homomorphisms entre los anillos, y isometrías entre espacios métricos (ver la métrica como un binario con un valor real de la operación).
B) Una estructura topológica está dada por un conjunto de "admisible" de subconjuntos de satisfacer ciertas propiedades (a menudo cierre de propiedades). Ejemplos son espacios topológicos, espacios medibles, parcial de las órdenes (considerar la baja de conjuntos) y filtros. Un mapa conserva esta estructura iff la preimagen de la admisión de un subconjunto es admisible. En los ejemplos anteriores hemos continua mapas, medibles mapas, el aumento de los mapas y filtro de mapas.
También podemos mezclar algebraicas y topológicas de las estructuras. Hay un montón de interesantes e importantes ejemplos, pero vamos yo sólo mencionar tres de ellas:
1) Topológicos, grupos y Mentira de los grupos. Una de morfismos de topológico (Mentira) grupos es un continuo (suave) grupo homomorphism.
2) los Esquemas, o más generalmente, rodeada de espacios. Una de morfismos de anillos espacios de $(X,\mathcal{O}_X) \to (Y,\mathcal{O}_Y)$ es un mapa continuo $f : X \to Y$ (topológicas parte) junto con un homomorphism de las poleas de los anillos de $f^\# : \mathcal{O}_Y \to f_* \mathcal{O}_X$ (algebraicas parte).
3) C*-álgebras, más en general álgebras de Banach. Una de morfismos de C*-álgebras es un continuo álgebra homomorphism que también conserva la involución. En realidad resulta que tenemos continuidad de forma gratuita, y la norma es siempre $\leq 1$.
La mayoría de las nociones generales de la "estructura" y "homomorphism" se han desarrollado y estudiado dentro del modelo de la teoría.
Matt Dawdy
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Un mapa entre conjuntos estructurados conserva la estructura cuando se conserva enunciados verdaderos acerca de los elementos de los conjuntos (no sobre los conjuntos de sí mismos). Una decisión acerca de qué tipo de estructura para preservar es una decisión acerca de qué tipo de declaraciones verdaderas que te importan. Por ejemplo, el grupo de homomorphisms preservar la verdad de las declaraciones que involucran las operaciones del grupo, por ejemplo, $g^3 = h^2$ ($g, h$ elementos de algún grupo), anillo homomorphisms preservar la verdad de las declaraciones que implican el anillo de operaciones, por ejemplo, $a^2 + b^3 = c^4$ ($a, b, c$ elementos de algunos de anillo), y así sucesivamente.
El caso de los espacios topológicos es más interesante. De aquí, la verdad de las declaraciones que se conservan son, esencialmente, las declaraciones acerca de los límites. Más formalmente, mediante la Kuratowski cierre de los axiomas se puede pensar de una función continua como una función que preserva la verdad de las declaraciones de la forma "punto de $x$ está contenida en el cierre de subconjunto $S$."
Hagen von Eitzen
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Normalmente, las estructuras en un conjunto $A$ son las relaciones, que son subconjuntos $R_A$ algunos $A^n$. En ese caso $f\colon A\to B$ preserva la estructura de la si $(a_1,\ldots,a_n)\in R_A$ implica $(f(a_1),\ldots,f(a_n))\in R_B$. Un ejemplo de esto son los grupos donde podemos considerar el grupo de derecho como relación ternaria $\{(a,b,c)\in G^3\mid a\circ b=c\}$. Por supuesto, esto también funciona con infinitary relaciones.
Espacios topológicos son un poco diferentes, como aquí la estructura en $A$ es un subconjunto $T_A$$\mathcal P(A)$, que introduce algunas contravarianza. Como ustedes saben, $f\colon A\to B$ es continua si la inversa de imágenes de abrir $B$-conjuntos son abiertos $A$-conjuntos. Es decir, $f\colon A\to B$ preserva la estructura si la inducida por el mapa de $f^{-1}\colon \mathcal P(B)\to\mathcal P(A)$ se comporta como en el anterior, es decir, $U\in T_B$ implica $f^{-1}(U)\in T_A$.
Por supuesto, todos estos pueden ser combinados e incluso las estructuras más complejas pueden ser considerados.
Lehs
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Yo podría haber encontrado algo que responder a su pregunta? Un montón de común estructuras matemáticas puede ser redefinido como un triplete $(X,\mathcal R,F)$ donde $X$ es el conjunto básico de, $\mathcal R\subseteq F(X)\times X$ es una estructura de relación y $F$ es un functor que asigna funciones en las relaciones.
Las funciones naturales que pertenecen a estas estructuras corresponden a los morfismos-funciones y extraer algo de la esencia de estos - todos los del grupo homomorphisms para funciones continuas. He escrito sobre ello en la SE-enlaces de abajo:
Es esta una estructura general de las construcciones?
La definición de productos diversos en una miscelánea matemática de la estructura de
