Encontrar la serie de Fourier de $\sin(x)^2\cos(x)^3$

Question

Actualmente estoy luchando en el cálculo de la serie de Fourier de la función dada

$$\sin(x)^2 \cos(x)^3$$

Dada la identidad de Euler, pensé que utilizar la aproximación exponencial sería la forma más fácil de hacerlo.

Lo que encontré fue: $$\frac{-1}{32}((\exp(2ix)-2\exp(2ix)+\exp(-2ix))(\exp(3ix)+3\exp(ix)+3\exp(-ix)+\exp(-3ix)))$$

Transformándolo de nuevo, el resultado es:

$$ -\frac{1}{18}(\cos(5x)+\cos(3x)+2\cos(x))$$

(He comprobado mis cálculos varias veces, estoy bastante seguro de que son correctos).

Teniendo en cuenta el punto $x = 0$ sin embargo, se puede ver que la serie que encontré no coincide con la función original.

¿Podría alguien ayudarme a encontrar mi error?

Answer 1

1) Identidades trigonométricas: $$ \sin^2 x\cos^3x=(\sin x\cos x)^2\cos x=\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2\cos x=\frac{1}{4}\sin^22x\cos x $$ $$ =\frac{1}{4}\left(\frac{1-\cos 4x}{2}\right)\cos x=\frac{\cos x}{8}-\frac{\cos 4x\cos x}{8} $$ $$ =\frac{\cos x}{8}-\frac{\cos 5x+\cos 3x}{16} $$ $$ =\frac{\cos x}{8}-\frac{\cos 3x}{16}-\frac{\cos 5x}{16} $$ 2) Exponencial complejo: $$ \sin^2x\cos^3x=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3 $$ $$ =-\frac{1}{32}(e^{2ix}-2+e^{-2ix})(e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}) $$ $$ =-\frac{1}{32}(e^{5ix}+e^{3ix}-2e^{ix}-2e^{-ix}+e^{-3ix}+e^{-5ix}) $$ $$ =-\frac{1}{32}(2\cos 5x+2\cos 3x-4\cos x) $$ $$ =\frac{1}{16}(2\cos x-\cos 3x-\cos 5x) $$

Nota: cometiste un error al ampliar $(e^{ix}-e^{-ix})^2$ . No tengo ni idea de cómo has acabado con esto $18$ . Probablemente querías decir $16$ .

Answer 2

Utilicé los identificadores trigonométricos y llegué a \[ \sin (x)^2 \cdot \cos (x)^3 = \frac {1}{16} \cdot \left ( 2 \cos (x) - \cos (3x)- \cos (5x) \right )\] Esto seguramente funciona para $x=0$ y Mathematica da lo mismo.

Answer 3

No muestras lo suficiente para que pueda diagnosticar nada. Puedo decirte que usando las fórmulas de doble ángulo y de sumar-multiplicar, obtengo

$$\sin^2{x} \cos^3{x} = \frac{1}{16} (2 \cos{x}-\cos{3 x} - \cos{5 x})$$

La forma de hacerlo es reescribir el LHS como

$$\begin{align} \cos^3{x}-\cos^5{x} &= \cos{x} (\cos^2{x}-\cos^4{x})\\&= \frac12 \cos{x} (1+\cos{2 x}) - \frac14 \cos{x} (1+\cos{2 x})^2 \\ &= \frac12 \cos{x}(1+\cos{2 x}) - \frac14 \cos{x}(1+2 \cos{2 x} + \cos^2{2 x}) \\ &= \frac14 \cos{x} - \frac18 \cos{x} (1+\cos{4 x})\\ &= \frac18 \cos{x} - \frac{1}{16} \cos{3 x} - \frac{1}{16} \cos{5 x}\end{align}$$

El resultado es el siguiente.