Cuadrado en grafo de cubic

Question

Origen del problema: la Educación de las Matemáticas de la Innovación

Deje $k>0$ ser algunas constante real y considerar la posibilidad de $f_k(x) = x^3 - k \, x$ real $x$. Entonces uno puede mostrar que para $k \geq \sqrt{8}$ hay una (inclinado) el cuadrado centrado en $(0,0)$ con todos sus rincones en la gráfica de $f_k$. (Para $k=\sqrt{8}$ no es exactamente un ejemplo de la plaza, por $k>\sqrt{8}$ hay dos). Esta mínima $k$ puede ser derivada a partir de un cálculo con los resultantes o bases de Gröbner en el sistema de ecuaciones $$f_k(x)-y, \ f_k(y)+x, \ (3x^2 - k)(3y^2 - k)+1$$ y el uso de $x,y \neq 0$ donde se requiera. (La tercera ecuación expresa que las curvas dadas por las dos primeras ecuaciones toque en una esquina de la plaza.)

Ahora la pregunta: ¿cómo puede la $k=\sqrt{8}$ derivados utilizando sólo de alto nivel de la escuela de matemáticas? Esta no es una pregunta muy precisa, pero como resultado y bases de Gröbner están definitivamente fuera. Ecuaciones de "alto" grado sin aparente de la estructura debe ser evitado así.

Jugando con las ecuaciones anteriores conduce a muchos derivados de las igualdades, pero deshacerse de $x$ $y$ por jugar no es tan simple como parece. (Una tal ecuación es $k^2=3x^2 y^2-1$ lo que sugiere que de alguna manera derivan $x^2y^2=3$.)

Cualquier método es aceptable, por cierto, no tiene que ser puramente algebraicas como se esbozó anteriormente. He aquí una bonita imagen para $k=\sqrt{8}$.

Answer 1

Aquí es cómo iba a hacerlo.

Considere la posibilidad de un par de líneas perpendiculares que pasa por el origen, que aparecen aquí como $y=mx$$y=-x/m$. La combinación de cada una de estas ecuaciones lineales con $y=x^3-kx$ da a su vez la siguiente no-origen de las intersecciones, donde $L$= longitud si la "diagonal" entre cada par de intersecciones:

$y=mx \rightarrow x_1=\pm\sqrt{k+m},L_1=2\sqrt{(1+m^2)(k+m)}$

$y=-x/m \rightarrow x_2=\pm\sqrt{k-(1/m)},L_2=\frac{2\sqrt{(1+m^2)(k-(1/m))}}{|m|}$

Para hacer una plaza, a continuación, simplemente mostrar el diagonales congruentes, por lo $L_1=L_2$. Después de la extracción de factores comunes, limpieza de fracciones y cuadrado que en última instancia, llegar a una ecuación polinómica:

$m^4+km^3-km+1=0$

Esto se ve feo, pero tenga en cuenta que cualquier línea que resuelve esta ecuación para un determinado $k$ debe ser acompañada por su línea perpendicular. Entonces el polinomio de cuarto grado de la pendiente $m$ debe tener pares de raíces con producto$-1$, forzando a la factorización:

$m^4+km^3-km+1=(m^2+am-1)(m^2+bm-1)=0$

La coincidencia de ambos cúbicos y términos lineales, a continuación, da $a+b=k$, mientras que la coincidencia de términos cuadráticos de los rendimientos de $ab=2$.

Ahora para obtener sólo un par de líneas perpendiculares, correspondiente a un solo "inscripción" de la plaza, tenemos $a=b$ haciendo los factores idénticos. A continuación, a partir de la coincidencia de las ecuaciones dadas anteriormente

$a=b=\sqrt{2},k=2\sqrt{2}$

o

$a=b=-\sqrt{2},k=-2\sqrt{2}$.

La segunda raíz no da ninguna plaza en el avión real; en lugar de los vértices del cuadrado tienen imaginario coordenadas. La primera raíz es el que da una sola plaza en el avión real. Las correspondientes pendientes de las líneas para este caso, se obtiene mediante la resolución de $m^2+(\sqrt{2})m-1=0$, se $m=(-\sqrt{2}\pm\sqrt{6})/2$.

Answer 2

cómo podría $k=\sqrt{8}$ derivados utilizando sólo de alto nivel de la escuela de matemáticas?

El siguiente es un poco especulativo argumento de que "algo ocurre" a $\,k=2 \sqrt{2}\,$.

Para iniciar con la especulación, la simetría central de la cúbico sugiere que un cuadrado inscrito podría estar centrada en el origen (a pesar de no demostrar que se tiene ). Deje $\,(a,b)\,$ ser un vértice de un cuadrado, entonces los otros tres serían $\,(-b,a), (-a,-b), (b,-a)\,$. Los dos últimos siga por la simetría y las condiciones pertinentes para el primero de los dos vértices que se acueste sobre el cúbicos;

$$ \begin{align} \begin{cases} b = a^3 - ka \\ a = -b^3 + kb \end{casos} \end{align} $$

La eliminación de (por ejemplo) $\,a\,$ entre las ecuaciones:

$$ b = a\a la izquierda(a^2 - k\right) = -b\left(b^2-k\right)\left(b^2\left(b^2-k\right)^2-k\right) $$

La cancelación de la $\,b\,$ factor, a continuación, la expansión y la recolección:

$$ b^8 - 3 k b^6 + 3 k^2 b^4 - k (k^2 +1) b^2 + k^2 + 1 = 0 \\[10px] \ffi\quad P(c) = c^4 - 3 k c^3 + 3 k^2 c^2 - k (k^2 +1) c + k^2 + 1 = 0 \quad\quad \estilo{font-family:inherit}{\text{donde}} \;\; c = b^2 $$

El último cuarto grado no tiene raíces reales negativas por Descartes' regla de los signos, y la naturaleza de las raíces sólo pueden cambiar a los puntos donde existe una doble raíz. Escribir la condición como el discriminante de fuga, o $\,\deg \gcd(P, P') \ge 1\,$ da después de la rutina (aunque tedioso) cálculos:

$$ 0 = 4 k^6 - 60 k^4 + 192 k^2 + 256 = 4 (k^2 - 8)^2 (k^2 + 1) $$

El negativo de la raíz de $\,k = -2 \sqrt{2}\,$ es poco interesante desde $\,f(x)\,$ es una función creciente al $\,k \lt 0\,$. Sin embargo, el positivo de la raíz de $\,k = 2 \sqrt{2}\,$ no en el hecho de conducir a soluciones explícitas para$\,c\,$,$\,b\,$$\,a\,$.