Medibilidad de los tiempos de parada

Question

Si $\tau$ , $\rho$ son tiempos de parada, entonces se ve fácilmente que $\tau+\rho$ también es un tiempo de parada. Sin embargo $\tau-\rho$ y $\tau\rho$ no son necesariamente tiempos de parada, ya que requiere un "pico en el futuro", pero no estoy seguro de por qué esto es así y agradecería cualquier comentario para facilitar mi comprensión.

Para el caso de la diferencia, creo que no como si $(X,\mathscr{F})$ es un espacio medible y $f, \space g \space :(X,\mathscr{F})\rightarrow([0,\infty),\mathscr{B}([0,\infty))$ son mapas medibles entonces si para algún $x\in X$ , $f(x)-g(x)<0$ entonces digo que no tiene sentido que $f-g$ es medible ya que asigna algunos elementos fuera de $[0,\infty)$ y $(f-g)^{-1}(\mathscr{B}([0,\infty)))$ no es un sub $\sigma$ -de $\mathscr{F}$ . ¿Es correcto mi razonamiento?

Así que en el caso del tiempo de inclinación, $\tau$ tenemos el requisito añadido de que $1_{\{\tau\leq t\}}$ adaptarse a la filtración dada. Así que mi pregunta es ¿por qué la diferencia de tiempos de parada requiere un "pico en el futuro"? Tengo las mismas dudas sobre el caso del producto.

Sin embargo, en el caso de la recíproca, creo ver por qué, ya que si tomamos $t=1/2$ entonces $\{1/\tau\leq2\}=\{\tau\geq2\}\in\mathscr{F}_2$ y no tenemos forma de saber si el evento está en $\mathscr{F}_{1/2}$

Así que agradecería cualquier comentario o respuesta.

Answer 1

Sea $(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ sea una filtración y $\tau$ un $\mathcal{F}_t$ -tiempo de parada, es decir $\{\tau \leq t\} \in \mathcal{F}_t$ para todos $t \geq 0.$

Para una constante fija $c >0$ la cartografía $\varrho(\omega) := c$ define un $\mathcal{F}_t$ -tiempo de parada. Entonces $\tau-\varrho = \tau-c$ no es, en general, un $\mathcal{F}_t$ -tiempo de parada desde

$$\{\tau-\varrho \leq t\} = \{\tau \leq t+c\}$$

está en $\mathcal{F}_{t+c}$ pero no necesariamente en $\mathcal{F}_t$ . Algo similar ocurre si consideramos $\varrho \cdot \tau$ y $\varrho:=c >1$ .

Answer 2

Intuitivamente, hay que pensar en un tiempo de parada junto con un proceso. Es agradable pensar en un proceso como el precio de una acción, y en un tiempo de parada como una estrategia para decidir cuándo vender.

Por ejemplo, imaginemos una acción cuyo precio en el momento $t=0$ es 100. $\tau$ sea la primera vez que el precio de las acciones alcance 200 (es decir. $\tau = \inf\{t : X_t = 200\}$ ). Del mismo modo $\rho$ será la primera vez que el precio llegue a 50. Así que $\tau$ es una estrategia razonable: "vender cuando el precio alcance o supere los 200". Usted podría hacer eso, así que $\tau$ es un tiempo de parada. $\tau+5$ también es una estrategia razonable: "Esperar hasta que el precio llegue a 200, esperar 5 días más, y luego vender". Así que $\tau+5$ también es un tiempo de parada. $\tau-5$ no es un tiempo de parada: "Vende cinco días antes de que la acción llegue a 200". Si la acción alcanza los 200 el día 8, no lo sabrás hasta el día 8, momento en el que verás que deberías haber vendido el día 3, pero para entonces ya es demasiado tarde.

Así que $\tau+\rho$ es un tiempo de parada: "Espera a que la acción alcance ambos precios, suma los tiempos y vende en ese momento". Si alcanza 200 el día 8 y 50 el día 9, se supone que debe esperar hasta el día 17 para vender. Usted podría hacer eso. Es un tiempo de parada, aunque estúpido, porque no tiene ningún sentido sumar tiempos absolutos para obtener un tiempo absoluto.

$\tau - \rho$ no es un tiempo de parada por razones similares a $\tau-5$ (aunque sigue siendo estúpido porque restar tiempos absolutos no tiene sentido como tiempo absoluto). Para $\tau\rho$ considere lo que ocurre si $\tau = 1/2$ y $\rho = 3/4$ . (Y es aún más estúpido porque multiplicar dos veces no da un tiempo; las unidades están mal).