Muestreo de Gibbs y distribución condicional.

Question

Necesito simular la distribución posterior de los coeficiente de correlación intraclase $\pi(\rho|y)$ donde $y$ es el conjunto de datos y $\rho=\frac{\sigma_a^2}{\sigma_a^2+\sigma_e^2}$ con $\sigma^2_a\sim IG(\beta,1)$ , $\sigma_e^2\sim IG(\alpha,1)$, $\rho\sim Beta(\alpha,\beta)$ donde IG representa inversa de la distribución Gamma.

Tomando el modelo de efectos aleatorios $$Y_{ij}=\mu+\alpha_i+e_{ij};i=1,\dots,n;j=1,\dots,m$$ donde $\mu\sim N(0,1e+06)$,$\alpha_i\sim N(0,\sigma_a^2)$ y $e_{ij}\sim N(0,\sigma_e^2)$, el texto dice que me puede simular este posteriores, con la siguiente información

$$\begin{cases} [\theta_i|\mu,\sigma_a^2]\sim N(\mu,\sigma_a^2);\theta_i=\mu+\alpha_i\ i=1,\dots,n\\ [e_{ij}|\sigma_e^2]\sim N(0,\sigma_e^2)\\ [y_{ij}|\theta_i,\sigma_e^2]\sim N(\theta_i,\sigma_e^2)\\ [\theta|y,\mu,\sigma_a^2,\sigma_e^2]\sim N_n\Big(\frac{m\sigma_a^2}{m\sigma_a^2+\sigma_e^2}\overline{y}+\frac{\sigma_e^2}{m\sigma_a^2+\sigma_e^2}\mu\textbf{1}_n,\frac{\sigma_a^2\sigma_e^2}{m\sigma_a^2+\sigma_e^2}\mathbb{I}_n\Big)\\ [\mu|y,\theta,\sigma_a^2,\sigma_e^2]=[\mu|\sigma_a^2,\theta]\sim N\Big(\frac{n(1e+06)}{n(1e+06)+\sigma_a^2}\overline{\theta},\frac{n(1e+06)}{n(1e+06)+\sigma_a^2}\frac{\sigma_a^2}{n}\Big)\\ [\sigma_e^2|y,\mu,\theta,\sigma_a^2]=[\sigma_e^2|y,\theta]\sim IG\Big(\alpha+\frac{nm}{2},1+\frac{\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n(y_{ij}-\theta_i)^2}{2}\Big)\\ [\sigma_a^2|y,\mu,\theta,\sigma_e^2]=[\sigma_a^2|\mu,\theta]\sim IG\Big(\beta+\frac{n}{2},1+\frac{\sum_{i=1}^n(\theta_i-\mu)^2}{2}\Big)\\ \overline{\theta}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta_i , y_i=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m y_{ij} \end{casos}$$

Obs: La referencia que he utilizado como base es aquí muestreo de los Enfoques Basados en el Cálculo Marginal Densitie

Sé que si he a $[\sigma_e^2|y,\mu,\theta,\sigma_a^2]$ $[\sigma_a^2|y,\mu,\theta,\sigma_e^2]$ I puede obtener la distribución de los $\rho$. Lo que quiero saber es

Cómo obtienen las distribuciones de $[\sigma_e^2|y,\mu,\theta,\sigma_a^2]$ $[\sigma_a^2|y,\mu,\theta,\sigma_e^2]$ usando el condicional de las distribuciones?

Answer 1

Esta es una pregunta acerca de derivados de la plena condicional(s) a partir de un conjunto pdf, en lugar de sobre muestreo de Gibbs.

Cuando se considera la distribución conjunta de la modelo $$ f(y,\mu\alpha,\sigma_a^2,\sigma_e^2)\propto\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m \sigma_e^{-1}\exp\{-(y_{ij}-\mu-\alpha_i)^2/2\sigma_e^2\}\times\prod_{i=1}^n\sigma_a^{-1}\exp\{-\alpha_i^2/2\sigma_a^2\}\times\pi(\mu)\times\sigma_a^{-2(\beta+1)}\exp\{-1/\sigma_a^2\}\times\sigma_e^{-2(\alpha+1)}\exp\{-1/\sigma_e^2\} $$ el condicional de $\sigma_a^2$, $f(\sigma_a^2|y,\mu,\alpha,\sigma_e^2)$ es proporcional a $f(y,\mu,\alpha,\sigma_a^2,\sigma_e^2)$ como una función de la $\sigma_a^2$. Por lo tanto, usted puede deshacerse de todos los multiplicativo términos que no implican $\sigma_a$: $$ f(\sigma_a^2|y,\mu,\alpha,\sigma_e^2)\propto\prod_{i=1}^n\sigma_a^{-1}\exp\{-\alpha_i^2/2\sigma_a^2\}\times\sigma_a^{-2(\beta+1)}\exp\{-1/\sigma_a^2\}$$ que factorises como $$ f(\sigma_a^2|y,\mu,\alpha,\sigma_e^2)\propto\sigma_a^{-n-2\beta-2}\exp\left\{-\sigma_a^{-2}\left[1+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\alpha_i^2\right]\right\} $$ que se puede identificar como un $IG(\beta+n/2,1+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\alpha_i^2)$ densidad.

Un argumento similar conduce a la distribución condicional de $\sigma_e^2$ otro $IG$ distribución que no depende de la $\sigma_a^2$. Sin embargo, nótese que la relación de $$\rho=\dfrac{\sigma_a^2}{\sigma_a^2+\sigma_e^2}$$ does not enjoy a Beta distribution any longer, since the scales of the two $IG$ distributions differ. It is therefore doubly necessary to simulate both $\sigma_a$ and $\sigma_e$ since (a) they are used to produce simulations for the other parameters and vice-versa, and (b) $\rho$ no puede ser simulado directamente.

Recuerde que, cuando se utiliza muestreo de Gibbs, de producir una muestra de variables aleatorias simulados a partir de la distribución de destino. En su caso, el muestreador de Gibbs va a producir una muestra de $(σ^2_a,σ^2_e)$, por lo tanto, un muestra de ρ. Empírica de la función de distribución se basa en que es un ejemplo de una convergencia de la aproximación a la verdadera posterior distribución de ρ.