$3$ - funciones lineales en$\mathbb{R}^3$

Question

Sé que cualquier función bilineal$\Phi$ se puede presentar de manera única como una suma$$\Phi = S + A,$$ where $ S$ is a symmetric and $ A$ is skew-symmetric bilinear functions. Does a similar statement hold for $ 3$-linear functions on $ \ mathbb {R} ^ 3 $?

Answer 1

El espacio de $\bigotimes^3 (\mathbb{R}^3)^*$ de trilineal formas en $\mathbb{R}^3$ tiene dimensión $3^3 = 27$, pero el subespacio $\Lambda^3 (\mathbb{R}^3)^*$ de sesgar-simétrica simétrica formas, la dimensión ${3\choose 3} = 1$ (distribuido por el mapa $(a, b, c) \mapsto \det[\,a\,\,\,b\,\,\,c\,]$) y el subespacio $\bigodot^3 (\mathbb{R}^3)^*$ simétrica trilineal formas, la dimensión ${{3 + 3 - 1}\choose 3} = 10$, de modo que el espacio de trilineal de las formas en que se puede descomponer en la suma de una forma simétrica y un sesgo forma tiene dimensión $10 + 1 = 11$. Por lo tanto, no todos los trilineal formas puede ser tan descompuesto.

Por otro lado, es posible anotar los espacios de $U, V$ de trilineal formas (tanto en $8$-dimensiones resulta) se caracteriza por ciertas otras simetrías (una mezcla de simetría y sesgo de simetría), de modo que $$\bigotimes{}^3 (\mathbb{R}^3)^* = \Lambda^3 (\mathbb{R}^3)^* \oplus \bigodot{}^3 (\mathbb{R}^3)^* \oplus U \oplus V,$$ es decir, para que cualquier trilineal forma en $\mathbb{R}^3$ puede ser el único descomponer en una suma de cuatro trilineal formas, una en cada uno de los cuatro sumandos.

(Esta es, por cierto, la descomposición es exactamente la descomposición de la $\bigotimes^3 (\mathbb{R}^3)^*$ en irreductible $GL(3, \mathbb{R})$-módulos.)

Answer 2

Vamos $$T = x_1 \otimes x_1 \otimes x_2, \text{ }u = (1, 0, 0), \text{ }v = (0, 1, 0).$$ Then $T(u, u, v) = 1$ and $T(u, u, u) = 0$. Say that $T = a + B$ where $$ is symmetric and $B$ is anti-symmetric. Then $A(u, u, v) = (u, v, u)$, whereas $B(u, u, v) = 0 = B(u, v, u)$, una contradicción.

Esto demuestra que no todos los $3$-funciones lineales en $\mathbb{R}^3$ puede ser expresada como una suma de una función simétrica y un sesgo de simetría de la función.

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Podemos dar una mejor respuesta en los intereses de la integridad. Escribir $V = \mathbb{R}^3$. A continuación, $\left(V^*\right)^{\otimes3}$ es un espacio vectorial real de dimensión $3^3 = 27$. Los subespacios $S^3V^*$ $\wedge^3 V^*$ tiene dimensiones de la $10$ $1$ respectivamente. Así$$S^3V^* + \wedge^3V^*$$is a subspace in $\a la izquierda(V^*\right)^{\otimes3}$ of dimension at most $11$, and therefore cannot be all of $\a la izquierda(V^*\right)^{\otimes3}$. In fact the sum is orthogonal direct, since if $S \in S^3V^*$ and $\en \wedge^3 V^*$, then$$\langle S, A\rangle = \sum_{i_1, i_2, i_3} S_{i_1i_2i_3}A_{i_1i_2i_3} = S_{123}A_{123}\sum_{\sigma \in S_3} (-1)^{\text{sign}(\sigma)} = 0.$$If $\phi = S + A$ for $S$ symmetric and $A$ antisymmetric, then$$\phi^\text{sym} = 3!S,\text{ }\phi^\text{asym} = 3!A.$$In fact ${1\over{3!}}(\cdot)^\text{sym}$, ${1\over{3!}}(\cdot)^\text{asym}$ are orthogonal projections onto the mutually orthogonal spaces of symmetric, antisymmetric $3$-tensors in $\mathbb{R}^3$.

Deje $\phi = x_3 \otimes x_1 \otimes x_2$. Entonces$$\phi^\text{sym}(e_1, e_2, e_3) = 1, \text{ }\phi^\text{asym}(e_1, e_2, e_3) = 1$$but $\phi(e_1, e_2, e_3) = 0 \neq 1/3$.