Demostrar que $\dfrac{a}{b^2+5}+ \dfrac{b}{c^2+5} + \dfrac{c}{a^2+5} \le \dfrac 12$

Question

Dejemos que $a,b,c>0$ y $a^3+b^3+c^3=3$ . Demostrar que $$\dfrac{a}{b^2+5}+ \dfrac{b}{c^2+5} + \dfrac{c}{a^2+5} \le \dfrac 12$$ Tengo una solución fea para esta solución.

Answer 1

En primer lugar, podemos deshacernos de los denominadores, observando que $\frac{1}{x^2+5} \leq \frac{4-x}{18}$ para cualquier $x\in [0,2]$ (de hecho, tenemos $$ (4-x)(x^2+5)-18=((x-1)^2)(2-x) \geq 0 \tag{1} $$

Así que bastará con demostrar que el número

$$ f(a,b,c)=a(4-b)+b(4-c)+c(4-a) \tag{2} $$

es $\leq 9$ . Tenga en cuenta que $f(a,b,c)=4(a+b+c)-(ab+ac+bc)$ es totalmente simétrico en $a,b,c$ .

Necesitamos un resultado de "menor dimensión" :

Lema. Dejemos que $\alpha,\beta$ sean dos números positivos tales que $\alpha^3+\beta^3=2$ . Entonces $\alpha(3-\beta)+\beta(3-\alpha) \leq 4$ con igualdad si $\alpha=\beta=1$ .

Prueba del lema La desigualdad propuesta es equivalente a $\beta(3-2\alpha) \leq 4-3\alpha$ o $(2-\alpha^3)(3-2\alpha)^3 \leq (4-3\alpha)^3$ . Ahora

$$ (4-3\alpha)^3-(2-\alpha^3)(3-2\alpha)^3=(\alpha-1)^4 \bigg(\frac{42}{25}+ \big(\frac{13}{10}-\alpha\big)\big(8\alpha+\frac{32}{5}\big)\bigg), $$

lo que concluye la demostración del lema.

Ahora dejemos que $a,b,c$ sean números positivos con $a^3+b^3+c^3=1$ . Establecer $t=\big(\frac{b^3+c^3}{2}\big)^{\frac{1}{3}}$ para que $b^3+c^3=2t^3$ . Entonces los números $\alpha=\frac{b}{t}$ y $\beta=\frac{c}{t}$ satisfacen las hipótesis del lema; deducimos

$$ b(3t-c)+c(3t-b) \leq 4t^2, \ \text{with equality iff } \ b=c=t \tag{3} $$

Esto significa que

$$ f(a,b,c) \leq f(a,t,t), \ \text{with equality iff } \ b=c=t \tag{4} $$

El conjunto $K=\lbrace (a,b,c) \in [0,+\infty[^3 | a^3+b^3+c^3=1\rbrace$ es compacto, por lo que el mapa continuo $f$ alcanza su máximo en $K$ en algún momento $(a_0,b_0,c_0)$ . Entonces (4) muestra que debemos tener $b_0=c_0$ y por simetría $a_0=b_0=c_0=1$ , qed.

Answer 2

Lohwater's "Introducción a las desigualdades" es un un tour de force en la demostración de todo tipo de desigualdades con medios mayoritariamente elementales.