Dejemos que $\tau_1$ sea la topología habitual en $\mathbb R$ . Definir otra topología $\tau_2$ en $\mathbb R$ por
$$\tau_2 = \{U \subseteq \mathbb R \ \ | \ \ U^c \ \ is \ \ either \ \ finite \ \ or \ \ empty \ \ or \ \mathbb R\ \ \}$$
Si $I : (\mathbb R , \tau_1) \rightarrow (\mathbb R , \tau_2)$ es el mapa de identidad , entonces
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$I$ es continua pero no $I^{-1}$
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$I^{-1}$ es continua pero no $I$ .
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ambos $I$ y $I^{-1}$ son continuos .
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ni $I$ ni $I^{-1}$ son continuos .
Mi intento es :
desde $(0,\infty)$ está abierto en $\tau_1$ pero no en $\tau_2$ . así que $\tau_2$ no es más fino que $\tau_1$ . así que $I^{-1}$ no es continua porque tenemos un resultado $I$ es continua si $\tau_1$ es más fino que $\tau_2$ De la misma manera, este resultado es válido para $I^{-1}$
Creo que $I$ es continua porque tomemos cualquier conjunto cerrado en $\tau_2$ que es un conjunto finito es cerrado en $\tau_1$ porque R es Hausdorff.
Estaría agradecido si alguien me dedicara su valioso tiempo para comprobar mi solución.
