Diagramas de Feynman para la teoría de perturbaciones de valores propios

Question

Publiqué esta pregunta en MathOverflow pero no tuve suerte con las respuestas, así que lo intentaré aquí.

Supongamos que tengo una matriz dada por una suma

$$A=D+\epsilon B$$

donde $D$ es diagonal y $\epsilon$ es pequeño, y quiero los valores propios de $A$ como series de potencias en $\epsilon$ . Los dos primeros órdenes de la teoría de perturbaciones son bien conocidos. Los órdenes tercero y superior se discuten brevemente aquí . Sin embargo, las ecuaciones se vuelven horribles.

He oído que los diagramas de Feynman son una forma eficiente de formular la teoría de perturbaciones, pero no encuentro una exposición accesible de este enfoque. Nótese que tengo en mente el escenario matricial simple. No quiero estados de vacío, teoría cuántica de campos, integrales de trayectoria, de muchos cuerpos, etc. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Si quieres encontrar los valores propios de una matriz de dimensión finita $A$ como una serie de Taylor en $\epsilon$ hay procedimientos bien conocidos para hacerlo. Si su objeto $A$ es de dimensiones infinitas las cosas se complican más, pero en principio se pueden llevar a cabo. (Casi) todo lo que se quiere saber sobre el tema se puede encontrar en el libro de Kato teoría de la perturbación para operadores lineales .

Los diagramas de Feynman son esencialmente una forma conveniente de escribir un término particular de la expansión de la perturbación cuando tus objetos son teorías de campo (cuánticas). Por ejemplo, resulta que, debido a la forma del término de interacción (su $B$ ) ya se puede decir que algunos términos de la expansión de la perturbación van a ser cero. En general, tienes una forma diagramática de escribir estos términos, lo cual es útil porque proporciona una forma fácil de escribir estos términos. Al mismo tiempo, también proporciona una intuición física de lo que hacen estos términos y esto es probablemente aún más importante.

En un entorno matricial simple, los diagramas de Feynman no son útiles, ya que ni siquiera pueden definirse.