¿Cómo mostrar que$a$ se puede dividir por$6$ si y solo si se puede dividir por$2$ y$3$?

Question

Demuestre que para:$a \in\mathbb Z$,$a$ es divisible por 2 y$a$ es divisible por 3 si y solo si$a$ es divisible por 6.

EDIT: Lo siento, no sabía cómo funcionaba exactamente este sitio. Esto es más o menos una pregunta de mi curso de Matemática Discreta que tenía algunos problemas para entender. Disculpas por no ser claro sobre el fondo y solo publicar una pregunta sin contexto.

Answer 1

Insinuación: $\ \dfrac{a}6\, =\, \dfrac{a}2\, -\, \dfrac{a} 3$

Answer 2

$\Rightarrow$

Supongamos que a es divisible por$2$ y$3$. Por el algoritmo de Euclides.

$$ a = 6q + r $$

dónde $0\le |r|\le 5$

Pero$r=a-6q$ y dado que cada uno de$6$ y$a$ son divisibles por$2$ y$3$,$r$ es divisible por ambos$2$ y$3$ y por lo tanto deben ser$0$.

Por lo tanto,$a$ es divisible por$6$.

$\Leftarrow$

Si$a$ es divisible por$6$ entonces$a=6n$ para algunos$n$ así que$$a=6n=2(3n) = 3(2n)$ $

Por lo tanto,$a$ es divisible entre$2$ y$3$.

Answer 3

Sugerencia: escribimos$a\mid b$ para "$a$ divide$b$".

1. Si$p$ es un número primo y$p\mid a\cdot b$, entonces$p\mid a$ o$p\mid b$;
2. si$x\mid y$ y$y\mid z$ entonces también$x\mid z$.
3. $2$ y$3$ son números primos; $6=2\cdot 3$.

Answer 4

Sugerencia :$(2)(3) = 6$

MCM de 2 y 3 es 6.

Esto no actúa como una prueba, pero debería ayudarlo a darle sentido.

Answer 5

Si$(p,q)=1$, entonces existe$u,v$ tal que$up+vq=1$. Si ahora suponemos que$p$ y$q$ dividimos$a$, entonces podemos escribir$ps=a=qt$. Al multiplicar la ecuación$up+vq=1$ por$a$ obtenemos$upa+vqa=a$ o$upqt+vqps=a$. Por lo tanto,$pq$ divide$a$. Claramente, si podemos$a$ por$pq$ entonces podemos dividir$a$ por$p$ y$q$.