Estoy leyendo la Teoría Cuántica de campos en una cáscara de Nuez por A. Zee.
Zee presenta la justificación del/de la maquinaria detrás de los diagramas de Feynman en tres pasos: Bebé -> Niño -> "Real".
El bebé problema genera diagramas de expansión de los siguientes de una dimensión integral doble de la serie con respecto a $e^{- \frac{\lambda}{4!}q^4}$$e^{Jq}$:
$$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} dq e^{-\frac{1}{2}m^2q^2 - \frac{\lambda}{4!}q^4+Jq}$$
Hasta ahora tan bueno.
El niño problema promueve la integral anterior en una integral múltiple con las "sustituciones" $m^2 \to A$ ($n \times n$ simétrica matriz) y $J,q$ $n$vectores: $$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \ldots \int_{- \infty}^{\infty} dq_1 dq_1 \ldots dq_n e^{-\frac{1}{2} q \cdot A \cdot q - \frac{\lambda}{4!} \sum_{i=1}^{n}q_i^4 +J \cdot q}=$$ $$= Z(0,0) \sum_{s=0}^{\infty} \sum_{i_1=1}^{n} \ldots \sum_{i_s=1}^{n} \frac{1}{s!} J_{i_1} \ldots J_{i_s} G^{(s)}_{i_1 \ldots i_s}$$
Para $s=2$ me las arreglo para llegar a la respuesta correcta (Porque no hay ninguna posibilidad de permutaciones..).
para $s=4$ no entiendo donde la suma de las permutaciones, así que, puedo llegar de nuevo a la apéndice.
Para hacer las cosas lo más simple posible elijo $n=4$ y obtener:
$$\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} x_1 x_2}{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} } = A_{12}^{-1}$$
Pero cuando intento hacer $\langle x_1 x_2 x_3 x_4\rangle$, sólo obtengo $A_{12}^{-1} A_{34}^{-1}$, y no una suma de permutaciones. Puedo obtener mediante la aplicación de las $\frac{d^4}{dJ_4 dJ_3 dJ_2 dJ_1}$ en $e^{\frac{1}{2} J \cdot A^{-1} \cdot J}$ (Esta es la solución de la 4-d de gauss con el extra de $J \cdot x$ plazo en la exponencial) y, a continuación, configuración de $J=0$.
Debo haber entendido mal las instrucciones: "Diferenciar $p$ veces con respecto a $J_i, J_j, \ldots , J_k,$$J_l$, y, a continuación, establezca $J=0$."
Por favor, dime si mi pregunta carece de algunos detalles que podrían shead luz sobre lo que estoy haciendo mal (O lo que yo no entiendo)...
