¿Puede alguien, por favor, darme una interpretación gráfica / sentido de serie de poder infinito?
Algunas funciones, como exponenciales, senos y cosenos, son series de poder infinito, pero ¿qué significa eso y cómo se ve gráficamente?
Realmente no puedo imaginar cómo se ve la gráfica.
La serie de Taylor (sobre $x=0$) $\sin x$ es $$ \sen x=\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n+1}\over (2n+1)!}. $$ He aquí lo que la secuencia de sumas parciales (azul) $$ S_N(x)=\sum_{n=0}^N {(-1)^n x^{2n+1}\over (2n+1)!} $$ parece como $N$ varía (aquí de$0$$12$) a lo largo de con $y=\sin x$ (rojo):
La idea es que a medida que agregamos más y más términos de la serie, que se acerca más y más a $\sin x$ en un largo intervalo de tiempo (en este caso, ya que el intervalo de convergencia es $(-\infty,\infty)$.)
He aquí un ejemplo que tiene un determinado intervalo de convergencia para darle una idea de lo que eso implica. El uso de $$ \sum_{n=0}^\infty x^n={1\over 1-x}, \quad -1<x<1, $$ la sustitución de $-x^2$$x$, vemos $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}={1\over 1+x^2}, \quad -1<x<1. $$ Aquí, en el gráfico de $y={1\over 1+x^2}$ se muestra en rojo y el $N$th sumas parciales de la serie de los distintos valores de $N$ azul.
Tenga en cuenta que como $N$ se hace más grande, el gráfico azul coincide con la gráfica roja más cerca y más cerca en el intervalo de convergencia $-1<x<1$ (resaltado en amarillo), pero fuera de ese intervalo, no.
Puede ser útil leer esta y esta , que refuerzan la idea de un desarrollo en serie de Taylor como un "infinitamente larga" polinomio de Taylor. Una vez que esté correctamente conectado a tierra en la motivación y la interpretación geométrica de los polinomios de Taylor, puede llevar esas ideas a (infinito) en series de Taylor.
Un poder infinito de la serie "miradas" exactamente igual a la de una función. Aún mejor, se ve exactamente igual que una cierta función en un dominio dado!
Lo que quiero decir con esto es, una serie infinita como una Laurent serie o una serie de Taylor, es una aproximación a la función dentro de un determinado radio de convergencia. La conocida función de $e^x$ puede ser escrito como una serie de Taylor que el radio de convergencia es infinito. Esto significa que
\begin{gather*} \sum ^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!} =e^x \end{reunir*}
Para todos los $x\in \mathbb{R}$. También pasa a ser verdadera en el plano complejo. También hay un muy bonito gráfico aquí que le da un sentido de lo que la aproximación se ve como en la $n$th grado.
Esta no es la mejor respuesta que te muestran, pero tengo la esperanza de que va a resolver sus preguntas inmediatas.
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