Esta pregunta se plantea a mí cuando tratando de demostrar que el espacio de infinitamente diferenciable funciones definidas en un espacio compacto $K\subset\mathbb{C}$ tomando valores en $\mathbb{C}$$C^\infty(K)$, es un espacio de Banach. Es bien sabido que $C^n(K)$ (el espacio de n-veces continuamente diferentiable funciones) es un espacio de Banach con la norma $$||f||:=||f||_\infty+...+||f^{n)}||_\infty$$ Cuando trato de definir un análogo de la norma para $C^\infty(K)$, tengo el problema de que no sé cómo de rápido se deja crecer la secuencia $$(||f^{n)}||_\infty)_n$$ He leído de varias fuentes que $C^\infty(K)$ es un Frechet espacio, así que supongo que no hay ninguna restricción sobre el crecimiento de esa secuencia. Su verdad? Cualquier ayuda se agradece.
(Actualización) [$\approx$ Solucionado] he leído que el espacio de funciones analíticas $C^\omega([0,1])$ no es normable (ni $C^\infty([0,1])$ o bien, a continuación), así que mi pregunta debe tener una respuesta negativa: Si fuera verdad que la $||f^{n)}||_\infty\leq M_n$ para algunos absoluta (es decir, manteniendo para cada $f\in C^\omega([0,1])$) secuencia $(M_n)_n$ de los números positivos, entonces se podría definir $$||f||_\omega:=\sum_{n=0}^\infty2^{-n}\frac{||f^{n)}||_\infty}{M_n}$$ para $f\in C^\omega([0,1])$. Es inmediato comprobar que $||\cdot||_\omega$ () definir una norma sobre $C^\omega([0,1])$. Como esto no puede suceder, no hay tal secuencia $(M_n)_n$.
[Supongo que diciendo que $C^\omega([0,1])$ no es normable significa, con respecto a la topología "donde $f$ $g$ son cerca de si $f^{n)}$ $g^{n)}$ están cerca de todos los $n\geq0$". Es decir, con respecto a la topología $\tau$ generado por $\{B(\varepsilon,f)\}_{\varepsilon>0,f\in C^\omega([0,1])}$ donde $B(\varepsilon,f)=\{g\in C^\omega([0,1]):||g^{n)}-f^{n)}||_\infty<\varepsilon\ \forall n\geq0\}$]
Como la demostración de que $C^\omega([0,1])$ no es normable con respecto a $\tau$ es la única pregunta que queda, he cambiado el título. De nuevo, cualquier ayuda se agradece :)
