Pregunta sobre el proceso de Poisson

Question

Dejemos que $N\left(\cdot\right)$ sea un proceso de Poisson con tasa $1$ y que $\Lambda\left(t\right)$ sea una función continua de derecha no decreciente. Definir $N_{\Lambda}\left(t\right)=N\left(\Lambda\left(t\right)\right)$ necesito demostrar que dado un vector temporal $0=t_{0}<t_{1}<...<t_{n}$ los incrementos $\left\{ N_{\Lambda}\left(t_{i}\right)-N_{\Lambda}\left(t_{i-1}\right)\,|\,1\leq i\leq n\right\} $ son independientes.

Una cosa que me desconcierta por completo es qué pasa si hay $i\neq j$ tal que $\Lambda\left(t_{i-1}\right)=\Lambda\left(t_{i}\right)=\Lambda\left(t_{j-1}\right)=\Lambda\left(t_{j}\right)$ En este caso, ¿cómo es posible que los incrementos sigan siendo independientes? Por otra parte, si tomo $\Lambda\left(t\right)\equiv1$ que cumple las condiciones ¿cómo es posible que el proceso resultante tenga incrementos independientes?

Answer 1

Si $\Lambda(s)=\Lambda(t)$ entonces $N_\Lambda(t)-N_\Lambda(s)=0$ por lo que es casi seguro que $N_\Lambda(t)-N_\Lambda(s)$ es independiente de cada variable aleatoria.