Ejemplo de un ideal$I$ que es máximo en$R$ pero no máximo en$R[x].$

Question

Estaba leyendo a Dummit y Foote y apareció el siguiente comentario:

Tenga en cuenta que no es cierto que si$I$ es un ideal máximo de$R$, entonces$I[x]$ es un ideal máximo de$R[x]$.

Si$I$ es máximo en$R$ entonces$R/I$ es un campo y esto significa que$R[x]/I[x]$ es un campo ya que$R[x]/I[x]\cong (R/I)[x].$ Más allá de esto, no estoy seguro de cómo Puede llegar a un ejemplo de esta afirmación.

Answer 1

Como$R[x]/I[x]\cong (R/I)[x]$ y los anillos polinomiales nunca son campos,$I[x]$ nunca es máximo en$R[x]$.

Answer 2

Deje $R = \mathbb Z$. A continuación, $I = 2\mathbb Z $ es un ideal maximal en $R$.

Ahora $I[x] = (2)$ es el ideal de polinomios, incluso con coeficientes en $R[x] = \mathbb Z[x]$. Esta no es la ideal, ya que el $(2,x)$ es un buen ideal de $\mathbb Z[x]$ que estrictamente contiene $I[x]$.

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Como para el argumento en su párrafo final, no es cierto que $F$ siendo un campo implica que $F[x]$ es un campo. Lo más que se puede decir en general es que $F$ implica que $F[x]$ es una parte integral de dominio (y, de hecho, un dominio Euclídeo). En nuestro ejemplo, tenemos $(R/I)[x] = \mathbb Z_2 [x]$, que es una integral de dominio, mientras que $R[x] / (2, x) = \mathbb Z_2$, que es un campo.

Answer 3

Tomar$\mathbb{R}$,$0$ es el ideal máximo de ya que$\mathbb{R}$ es un campo. Pero$0$ no es el ideal máximo en$\mathbb{R}[X]$.