Teorema de descomposición de Hahn en Folland

Question

Estaba leyendo la demostración del teorema de descomposición de Hahn del libro de texto de Folland: precisamente estaba mirando el siguiente texto

Tengo la siguiente pregunta:

1. Como se destaca en el texto anterior, por qué $m$ es finito? Puede ser infinito, ya que no hay ninguna restricción en $X$ . ¿Por qué el autor lo considera finito?
2. De nuevo, ¿por qué? $\nu(A)<\infty$ ? No entiendo tampoco esto.
3. Entiendo que incluso para $A$ también obtenemos algunos $B$ con la propiedad de que $\nu(B)>\nu(A)+1/n$ pero no entiendo cómo esto lleva a una contradicción.

Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que la suposición de la primera línea es un error tipográfico. Debería decir $\nu < \infty$ en lugar de $\nu > -\infty$ . Parece que $\nu > -\infty$ no se utiliza en ninguna parte de la prueba, mientras que, como ha señalado $\nu < \infty$ se utiliza varias veces.

( $\dagger$ ) En cuanto a la 3. la cuestión es que para cualquier conjunto, $C$ contenida en $N$ con $\nu(C) > 0$ podemos encontrar otro conjunto $C' \subset C$ con $\nu(C') > \nu(C)$ .

Además, por contradicción se supone que tal $C$ existe como de lo contrario $N$ sería negativo. Entonces, dada esta situación inicial $C$ existe una secuencia $N \supset C \supset A_1 \ldots \supset A_k \supset$ de conjuntos $A_i$ construido con el resultado ( $\dagger$ ) sobre conjuntos positivos de $N$ . Además, el $A_i$ se construyen de manera que $A_{i+1}$ se aproxima a $A_i$ mal para que la diferencia $\nu(A_{i+1}) - \nu(A_i)$ es grande. Ahora bien, como $N \supset \cap_{i = 1}^{\infty}A_i$ y $\nu(\cap_{i = 1}^{\infty}A_i) > 0$ por ( $\dagger$ ) de nuevo existe un $D \subset \cap_{i = 1}^{\infty}A_i$ con $\nu(\cap_{i = 1}^{\infty}A_i) > \nu(D) + n^{-1}$ para algunos $n$ . Se demuestra que $n < n_j$ para algunos $j$ también para que $\nu(D) > \nu(A_{j-1}) + n^{-1} > \nu(A_{j-1}) + n_j^{-1}$ . Esta es la contradicción deseada porque $n_j$ se eligió de manera que para cualquier $H \subset A_{j-1}$ tenemos que $\nu(A_{j-1}) + (n_j - 1)^{-1} > \nu(H)$ así que toma $H = D$ y ya está.

Answer 2

Tal vez si consulta la definición de Folland de "medida con signo" encontrará que todos los valores son finitos. $\nu : \mathcal X \to (-\infty,+\infty)$ .

Según Wikipedia:

Hay dos conceptos ligeramente diferentes de una medida con signo, dependiendo de si se permite o no que tome valores infinitos. En los trabajos de investigación y en los libros avanzados sólo se permite que las medidas con signo tomen valores finitos, mientras que los libros de texto para estudiantes suelen permitir que tomen valores infinitos.

Supongamos que permitimos valores infinitos. Entonces la medida de Lebesgue sobre $\mathbb R$ sería una medida finita, $E = \mathbb R$ sería un conjunto positivo, y $\nu(E)=\infty$ en ese caso.