Cómo encontrar el enésimo término en la siguiente secuencia:$1,1,2,2,4,4,8,8,16,16$

Question

Estoy teniendo dificultades para encontrar la fórmula para la secuencia anterior, cuando puse esto en WolframAlpha me dio una fórmula bastante compleja que no estoy convencido de que funcione correctamente, pero estoy seguro de que hay una forma sencilla de lograrlo. He buscado muchas secuencias similares pero no pude encontrar nada que me ayudara.

Pienso que lo más probable es que tenga que tener una condición para los números pares y otra para los números no uniformes.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Estos son sólo poderes de dos. Entonces: $2^{\lfloor n / 2\rfloor}$

Answer 2

Como alternativa, este es un ejemplo de una secuencia en la que el $n$th plazo fijo es un combinación lineal de las inmediatamente anteriores términos: se puede escribir como $$a_n = 2 a_{n - 2}, \qquad a_0 = a_1 = 1.$$ Utilizando el ansatz $a_n = C r^n$ y sustituyendo en la fórmula de recursión da $C r^n = 2 C r^{n - 2}$. Reorganizar y borrar da la ecuación característica $r^2 - 2 = 0$, cuyas soluciones son a$\pm \sqrt{2}$. Así, la solución general es $$a_n = A (\sqrt{2})^n + B(-\sqrt{2})^n = (\sqrt{2})^n [A + B(-1)^n] .$$ Sustituyendo los valores iniciales $a_0 = a_1 = 1$ da un sistema lineal en los coeficientes $A, B$.

Answer 3

La secuencia son los poderes de dos, cada uno repetido dos veces. Podemos codificar la última función utilizando la cantidad $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ , que tiene valores $0, 0, 1, 1, 2, 2, \ldots$ .

Entonces, la secuencia está dada (para la indexación apropiada) por $$\color{#df0000}{\boxed{a_n := 2^{\lfloor n / 2 \rfloor}}} .$ $