Valores propios de una matriz real ortogonal.

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz real ortogonal. Entonces $A^{\text T} A = I.$ Dejemos que $\lambda \in \Bbb C$ sea un valor propio de $A$ correspondiente al vector propio $X \in \Bbb C^n.$ Entonces tenemos

$$\begin{align*} X^{\text T} A^{\text T} A X = X^{\text T} X. \\ \implies (AX)^{\text T} AX & = X^{\text T} X. \\ \implies (\lambda X)^{\text T} \lambda X & = X^{\text T} X. \\ \implies {\lambda}^2 X^{\text T} X & = X^{\text T} X. \\ \implies ({\lambda}^2 - 1) X^{\text T} X & = 0. \end{align*}$$

Desde $X$ es un vector propio $X \neq 0.$ Por lo tanto, ${\|X\|_2}^2 = X^{\text T} X \neq 0.$ Por lo tanto, debemos tener ${\lambda}^2 - 1 = 0$ es decir ${\lambda}^2 = 1.$ Así que $\lambda = \pm 1.$

Así que según mi argumento anterior se deduce que los valores propios de una matriz real ortogonal son $\pm 1.$ Pero creo que me equivoco, ya que sé que los valores propios de una matriz ortogonal son de módulo unitario, es decir, se encuentran en el círculo unitario.

Qué está fallando en mi argumento anterior. Por favor, ayúdenme en este sentido.

Muchas gracias por su valioso tiempo.

Answer 1

El error es su suposición de que $X^TX\ne0$ . Consideremos un ejemplo sencillo: $$A=\pmatrix{0&1\\-1&0}.$$ Es ortogonal, y sus valores propios son $\pm i$ . Un vector propio es $$X=\pmatrix{1\\i}.$$ Satisface $X^TX=0$ .

Sin embargo, la sustitución de $X^T$ en su argumento por $X^H$ (conjugado complejo de la transposición) le dará la conclusión correcta de que $|\lambda|^2=1$ .