Condición necesaria en el grupo de homología para que un conjunto sea contractible.

Question

Llamamos a un espacio topológico es contráctiles iff es homotópica a un punto. Desde homología grupo es homotopy invariante, podemos ver que en virtud de cualquier grupo abelian como los coeficientes de conjunto, un espacio topológico $(X, \tau)$ ha $H_1(X) = 0$ si $X$ es contráctiles.

Ahora, podemos encontrar una condición necesaria en la homología del grupo de $X$ que puede implicar X es contráctiles el uso de algunos abelian grupos como los coeficientes? La razón por la que me quiero centrar en el $H_1(X)$ es debido a que, si el espacio no es contráctiles, entonces habrá un 1-la cadena que no puede ser deformado a un punto, mientras que un 2-boca siempre puede ser deformado a un punto.

Me di cuenta de que cuando el uso de $\mathbb{Q}$ como los coeficientes, "$H_1(X) = 0$" no puede implicar $X$ es contráctiles. El conterexample es el plano proyectivo de orden 2, $\mathbb{P}^2$. Cuando el uso de $\mathbb{Z}$ como coeficientes, entonces para cualquier $n >= 2$, $S^n$ (la n-esfera) tiene homología 1-grupo igual a $0$ pero todos ellos no son contráctiles.

Podría alguien encontrar un grupo abelian $G$ tales que puedo concluir "el uso de $G$ como los coeficientes de conjunto, $H_1(X) = 0$ implica $X$ es contráctiles"? Además, si no importa lo que los coeficientes de set puedo usar, $H_1(X)$ siempre $0$, puedo concluir que $X$ es contráctiles?

Answer 1

El primer grupo de homología está lejos de ser suficiente para detectar la contractibilidad, ya que los espacios pueden tener no-desaparición de mayor homología de grupos.

Ni siquiera es suficiente para tener $H_n(X;G)$ desaparecen para cada $n$ e $G$. Para una cosa que hay espacios que son débilmente contráctiles (es decir, todos sus homotopy a desaparecer y, por tanto, su homología así), pero que no son contráctiles, como el Círculo de Varsovia.

Por Whitehead del Teorema débilmente contráctiles espacio que no es contráctiles no puede tener el homotopy tipo de un CW complejo, por lo que nos podemos preguntar si la fuga de homología es suficiente para concluir que un CW complejo es contráctiles. Esto todavía no es suficiente, porque se puede tomar la $2$-esqueleto $S$ de la de Poincaré homología $3$-esfera, que es finita $2$-dimensiones CW complejo, cuya homología de grupos desaparecen con cualquiera de los coeficientes, sino $\pi_1(S)$ tiene orden de $120$ así que no contráctiles.

Sin embargo, hay una respuesta afirmativa a su pregunta que implica el grupo fundamental. Si $X$ es un CW complejo tal que $\pi_1(X) = 0$ e $H_n(X;\mathbb{Z})=0$ para $n > 1$, luego se sigue por Whitehead del Teorema y el Teorema de Hurewicz que $X$ es contráctiles.

Answer 2

Un contraejemplo es la esfera $S^2$ , cuyo primer grupo de homología desaparecerá para cualquier coeficiente, pero que no se puede contraer (porque su segundo grupo de homología no desaparece).

Answer 3

Esta es una muy buena pregunta, porque esto es exactamente lo temprano algebraicas topologists importaba! El caso general es no; no hay condiciones en la homología que son suficientes para decir que un espacio es contráctiles. El doble peine espacio (https://topospaces.subwiki.org/wiki/Double_comb_spacees un espacio cuya homología (y homotopy) a los grupos trivial con coeficientes en cualquier grupo. Asimismo, no está contráctiles es decir, no homotopy equivalente a un punto.

Pero cuando usted tiene una gran pregunta, un contraejemplo no debe disuadir a usted. Podemos poner restricciones en un espacio tan trivial que homología (con coeficientes en enteros) implica es contráctiles? La respuesta es sí. Si nos restringimos a CW complejos, se puede demostrar que cualquier mapa que induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos deben ser homotopy de equivalencia. Esto se llama Whitehead del teorema. Uno de sus corolarios es que entre simplemente conectado CW complejos, cualquier mapa que induce isomorphisms en la homología de grupos es un homotopy de equivalencia. Esto significa que simplemente se conecta CW complejo con trivial homología es contráctiles desde el mapa a un punto induce isomorphisms en la homología.