Dada una partición $P$ sobre un conjunto $X$, podemos definir una topología cuya abrir conjuntos de uniones de elementos de $P$. En esta topología, bloques abiertos y conjuntos cerrados son los mismos, por lo que todos los conjuntos cerrados son regulares cerrado. (Si $P$ es de los mejores de la partición de esto es la topología discreta; si $P$ es el más áspero de la topología es la topología indiscreta. Tal topologías también puede ser caracterizado como el topologías en las que conjuntos cerrados y abiertos conjuntos coinciden, o topologías de cuyas $T_0$ cociente es discreto.)
Yo reclamo, sin embargo, que estos son los únicos ejemplos. En efecto, supongamos $X$ es un espacio topológico en el que todos los conjuntos cerrados son regulares cerrado. Supongamos $x,y\in X$ son tales que $y\in\overline{\{x\}}$. Desde $\overline{\{y\}}$ es regular cerrado, es el cierre de su interior, se $U$ cual es, en particular, no vacío, y debemos tener $y\in U$ desde $\{y\}$ es denso en $\overline{\{y\}}$. Desde $y\in\overline{\{x\}}$, tenemos $U\subseteq \overline{\{x\}}$ así y por lo $x\in U$. Por lo tanto $x\in \overline{U}=\overline{\{y\}}$ e lo $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$. A continuación, vemos que $U$ es el interior de $\overline{\{x\}}$ y cada elemento de a$\overline{\{x\}}$ es de $U$ (desde $y\in U$ e $y$ fue originalmente un elemento arbitrario de $\overline{\{x\}}$). Por lo tanto $U=\overline{\{x\}}$, lo $\overline{\{x\}}$ está abierto.
Así, hemos demostrado que el cierre de cada singleton en $X$ es un clopen y es igual a la de cierre de alguno de sus elementos. De ello se deduce fácilmente que la colección de los cierres de singleton es una partición de a$X$, y un subconjunto de a$X$ es abrir el fib es una unión de elementos de esta partición.
