Cualquier isometría en$\mathcal{L}(G)$ debe ser unitaria

Question

Deje $G$ ser una contables de grupo con elemento neutro $e$. Considerar el espacio de Hilbert $$\ell^2(G):=\left \{ x:G\to \mathbb{C}\mid \sum_{t\in G}|x(t)|^2<\infty \right \}$$ with inner product $\left \langle x,y \right \rangle=\sum_{t\in G}x(t)\overline{y(t)}$ for $x,y\in \ell^2(G)$. For each $t\in G$, let $\delta_t\en \ell^2(G)$ be defined by $\delta_t(t)=1$ and $\delta_t(s)=0$ if $s\neq t$. The set $(\delta_t)_{t\in G}$ is an orthonormal basis for $\ell^2(G)$, and $x(t)=\left \langle x,\delta_t \right \rangle$ for $x\in \ell^2(G)$ and $t\in G$.

Para cada una de las $t\in G$, considere la posibilidad de que el operador $U_t$ a $\ell^2(G)$ dado por $(U_tx)(s)=x(t^{-1}s)$ para $x\in \ell^2(G)$ e $s\in G$.

Poner $\mathcal{L}(G)=\{ U_t\mid t\in G\}''$. Considera que el estado es $\tau$ a $\mathcal{L}(G)$ definido por $\tau(T)=\left \langle T\delta_e,\delta_e \right \rangle$ para $T\in \mathcal{L}(G)$.

Problemas

1) Muestran que $\tau(ST)=\tau(TS)$ para todos los para todos los $S,T\in \mathcal{L}(G)$.

3) Demostrar que cualquier isometría en $\mathcal{L}(G)$ debe ser unitaria

Mis respuestas:

1) no estoy seguro acerca de esta parte. Si $S,T\in \mathcal{L}(G)$, entonces podemos escribir $S=\sum_{s\in G}\alpha_sU_s$ e $T=\sum_{t\in G}\beta_tU_t$. Puedo escribir la multiplicación $$ ST=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t}U_sU_t $$ donde $\gamma_{s,t}$'s son números complejos en términos de $\alpha$ e $\beta$? Si no, ¿cómo se escribe matemáticamente? Supongamos que esto es cierto. Me han demostrado que $U_{s}U_{t}=U_{st}$ e $U_t\delta_s=\delta_{ts}$. Entonces tenemos $$ \tau(ST)=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t}\tau(U_{st})=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t}\left \langle U_{st}\delta_e,\delta_e \right \rangle=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t}\left \langle \delta_{st},\delta_e \right \rangle=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t} \delta_{st}(e)=\sum_{(s,t)\S\times T}\gamma_{s,t} \delta_{ts}(e)=\dots=\tau(TS) $$ Es esto correcto?

No estoy seguro sobre el último problema. Me podrían ayudar con esto? El problema 2) fue como sigue: Mostrar que $\tau(T^* T)=0$ implica $T=0$ para todos los $T\in \mathcal{L}(G)$. Yo lo he solucionado de esta. Sólo informar que si es relevante para el problema anterior.

Es algunas informaciones que faltan, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Para la parte 1, la forma en que usted está haciendo es problemático para mí, porque donde sus puntos de inicio tendría $\sum_s\gamma_{s,s^{-1}}$ y que necesita para relacionarlos con los correspondientes coeficientes de $U_{ts}$.

Más bien, la primera nota que es suficiente para trabajar con finito de sumas de dinero, ya que $\tau$ es (obviamente!) wot-continuo. Con finito de sumas de dinero (y por lo tanto no hay necesidad de preocuparse acerca de la convergencia) se han \begin{align} \tau(ST)&=\sum_{s,t} \alpha_s\beta_t\langle U_{st}\delta_e,\delta_e\rangle =\sum_{s,t} \alpha_s\beta_t\langle \delta_{st},\delta_e\rangle =\sum_s\alpha_s\beta_{s^{-1}}\\ &=\sum_t\alpha_{t^{-1}}\beta_t=\tau(TS). \end{align}

Para la parte 3, parte 2 (la que dice que $\tau$ es fiel) es esencial bits. Si $S$ es una isometría, ha $S^*S=I$. Entonces $$ \tau(I-SS^*)=\tau(I)-\tau(SS^*)=\tau(I)-\tau(S^*S)=1-1=0. $$ Tenga en cuenta también que $SS^*\leq I$, ya que es positivo, y la norma es 1 (debido a que $\|SS^*\|=\|S^*\|^2=\|S\|^2=\|S^*S\|=1$). Cualquier elemento positivo es de la forma $T^*T$ para algunos $T$. Por lo $I-SS^*=0$, e $SS^*=I$, lo $S$ unitaria.