¿Qué es más importante en matemáticas, teoremas o sus pruebas?

Question

Felix Klein dijo una vez,

Las matemáticas se ha avanzado más por aquellos que se distinguen más por intuición que por los métodos rigurosos de la prueba.

Hasta ahora yo pensaba lo contrario. Pensé que se los rigurosos métodos de prueba que se requiere más ingenio, porque en mi opinión es "muy fácil" para hacer conjeturas, pero en muchos casos inimaginablemente difícil de probar.

Considere los siguientes puntos de vista,

Ver 1: Cada conjetura es intuitivo al principio. Pero es inútil a menos que probarlo porque simplemente deducir consecuencias si hubiera sido verdad que no vale la pena un matemático del tiempo, tal vez. Lo que si alguno de los deducido consecuencias no se contradice con cualquiera de los teoremas?. Así que lo de la final, en esencial, la rigurosa prueba de curso.

Ver 2: no Es cierto que simplemente deducir consecuencias si hubiera sido verdad que no vale la pena un matemático del tiempo. Lo que si en el curso de este estudio (aunque lógico, pero tal vez no siempre es práctico) el matemático ha de derivar una contradicción con lo establecido teoremas? Y también, vamos a conceder por algún tiempo que los métodos rigurosos de la prueba es sobre todo importante, pero debe tener algo para demostrar y que algo debe venir de la intuición.

Probablemente esta pregunta no es el más adecuado para este sitio, pero estoy ansioso por saber los pensamientos de mis compañeros MSE de los usuarios sobre este tema.

Answer 1

Ambas y ninguna. La razón por la que nos gusta teoremas y las pruebas no son causa de los hechos o la justificación de que realmente están hechos, sino la comprensión que proporcionan.

El siguiente es un extracto de Thurston increíble y muy fácil de leer ensayo Sobre la Prueba y el Progreso en Matemáticas, lo que yo sugiero echar un vistazo a.

Por ejemplo, cuando Appel y Haken compuleted una prueba de la 4-mapa de color teorema usando una enorme automático de cálculo, esto ha provocado mucha controversia. Yo interpreto la controversia, ya que poco tienen que ver con la duda de la gente en cuanto a la veracidad del teorema o la corrección de la prueba. Más bien, refleja un deseo continuo para el entendimiento humano de una prueba, en adición a los conocimientos que el teorema es verdadero.

En un mayor nivel cotidiano, es común que la gente se empieza a lidiar con los equipos para hacer a gran escala de los cálculos de las cosas que podría haber hecho en una escala más pequeña con la mano. Se puede imprimir una tabla de los primeros 10,000 números primos, sólo para encontrar que su impresión no es algo que realmente quería, después de todo. Descubren por esta clase de experiencia que lo que realmente quería, no suele ser algo de la colección de "respuestas" - lo que quiere es la comprensión.

Answer 2

Las pruebas de matemáticas son como pinceladas en el arte de la pintura. Ellos son sin duda importantes, pero que rara vez se mira una obra de arte para apreciar los trazos del pincel.

Lakatos, en las Pruebas y Refutaciones, compara las matemáticas a la física. En física, una teoría que se pretende modelo de una parte de la realidad y de la verdad de los flujos de la realidad a los axiomas, lo que significa que si los teoremas de la teoría, es decir, las predicciones, de acuerdo con el modelo, es decir, con la realidad, entonces podemos cambiar los axiomas, no a la realidad. El formalista de vista de las matemáticas (la de Hilbert) dice que la matemática es sólo un juego con los símbolos de un trozo de papel, donde simplemente uno ve lo que sale del teorema. El flujo de información es entonces a partir de los axiomas del modelo. Sin embargo, hay un poco de un problema con el que a duras enfoque, ya que después de todo no debe ser algo que nos guía en la selección de los axiomas. Nadie se despierta por la mañana, elige aleatoriamente algunos axiomas y empieza a deducir teoremas. Y si alguien lo hace, no de diario sería (o debería, al menos) la publicación de ese trabajo. El formalista punto de vista no ofrece ninguna respuesta a la meta-pregunta "¿por qué estos axiomas?". Según Lakatos el flujo de información de las matemáticas es el mismo como en la física. Una teoría matemática se supone que el modelo de algo. No una parte de la realidad, pero algo no menos. El papel del matemático es decidir cuando los teoremas de la teoría de acuerdo con lo que se modela, y cuando eso sucede, uno debe cambiar de los axiomas más que en la realidad. Personalmente, este es mi punto de vista de su comilla de Klein. Un inmenso progreso se realiza cuando los gigantes en la que las futuras generaciones de pie darse cuenta de que los teoremas están mal, aunque la prueba está perfectamente bien, y luego cambian los axiomas por otras mejores.

Answer 3

Un teorema es una afirmación que tiene una prueba.

Probablemente puede responder tu pregunta tú mismo partiendo de ese hecho.