¿Cómo evaluar...

Question

$\int_0^\frac{1}{\sqrt2}\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}$

Intenté usar sustituto, $x=\sin\theta$

Pero terminé con $\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{d\theta}{1+\sin^2\theta}$

¿Mi sustitución es correcta? Por favor, dame una pista para resolver esto! Muchas gracias.

Answer 1

sugerencia: $$\frac{1}{1+\sin^2 x}=\frac{\sec^2 x}{1+2\tan^2 x}$ $

Answer 2

Vemos que $$\frac1{1+\sin(x)^2}=\frac{\sec(x)^2}{1+2\tan(x)^2}$$ como se insinuó por @E. H. E. luego Nos preforma de la sub $u=\tan(x)$ conseguir $$\int_0^1 \frac{du}{1+2u^2}$$ Luego de hecho podemos calcular la integral $$I(x;a,b,c)=\int\frac{ dx}{ax^2+bx+c}=\int\frac{dx}{a(x+\frac{b}{2a})^2+g}$$ Aquí $g=c-\frac{b^2}{4a}$. Si asumimos que $4ac>b^2$, entonces podemos hacer la sustitución $x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{g}{a}}\tan u$ lo que da $$I(x;a,b,c)=\sqrt{\frac{g}{a}}\int\frac{\sec^2u\, du}{g\tan^2u+g}$$ $$I(x;a,b,c)=\frac{u}{\sqrt{ag}}$$ $$I(x;a,b,c)=\frac2{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C$$ Y señalando que su integral está dada por $I(1;2,0,1)-I(0;2,0,1)$ tenemos su integral en el valor $$\frac{\arctan\sqrt2}{\sqrt2}\approx 0.675510858856$$

Answer 3

Insinuación

Dividir numerador y denominador por $\sin^2\theta$

y establecer $\cot\theta =u$

O divide numerador y denominador por $\cos^2\theta$

y establecer $\tan\theta=v$