Encuentre todos los enteros positivos$n$ de manera que$\frac{3^n-1}{2^n}$ sea un entero.

Question

Necesito encontrar todos los enteros positivos $n$ de modo que $\frac{3^n-1}{2^n}$ sea un entero. Hasta ahora solo encontré $n=1$ , $n=2$ y $n=4$ y soluciones a este problema? ¿Hay alguna manera de probar, usando aritmética modular, que no hay más soluciones (o si hay más soluciones), porque parece que ya no puedo encontrar más?

Answer 1

Si $m$ es impar entonces el más alto poder de $2$ que divide $3^m-1$ es $1$ y dividiendo $3^m+1$ es $2$. Si $n=2^k\cdot m $ donde $m$ es impar luego factorizar el numerador como $ (3^m -1)(3^m +1)(3^{2m} +1)...(3^{2^{k-1}m} +1 )$ .A partir del tercer término a partir de más alto poder de $2$ dividiendo cada factor es $1$ y por lo tanto mayor poder de $ 2$ dividiendo el producto es $3+k-1=k+2\geq 2^k\cdot m $ . Esta desigualdad se da usted las soluciones deseadas