¿Podemos invertir estas series análogas de "Dirichlet" para la convolución de GCD / LCM?

Question

Sabemos que $\sum_{ab = n} f(a) g(b)$ es multiplicativo en $n$ si $f, g$ son pero, ¿qué acerca de la $\sum_{\text{lcm}(a,b) = n} f(a) g(b)$. Se asocia a causa de la asociatividad de $\text{lcm}$. Gracias @darij grinberg, quien dice que este conserva multiplicativity.

¿Dónde se presenta?

Si el $a,b : \Bbb{N} \to \Bbb{C}$ es multiplicativo, a continuación, considere la posibilidad de su natural mapa en infinitas sumas de la forma $\sum_{i \in \Bbb{N}} c_i \chi_i(n)$ donde $\chi_i = \begin{cases} 1, \text{ if } n \in (i) \\ 0, \text { if } n \notin (i)\end{cases}$ donde $(i)$ es el ideal en $\Bbb{Z}$, e $c_i \in \Bbb{C}$.

A continuación, el $n$th coeficiente de $(a\cdot b)(n)\equiv a(n) b(n)$ es la segunda suma es decir, por encima de la $m$th coeficiente de multiplicación es $(a \star b)(m) = \sum_{\text{lcm}(i,j)=m} a(i)b(j)$.

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Ahora tome MCD sumas:

$$ \sum_{\text{mcd}(a,b) = n} f(a) g(b) $$

MCD funciones de base:

Cualquiera que sea la "base", las funciones son, deben satsify $\phi_k(n)^2 = \phi_{\gcd(k,k)}(n) = \phi_k(n)$ o sólo puede dar valores en $\{0, 1\}$ lo que significa que muy probablemente son "funciones características".

$$\phi_k(n) = \begin{cases} 0, \text { if } (k,n) = 1 \\ 1, \text{ if } (k,n) \gt 1\end{cases}$$ obras. Se puede expresar como el mapa de características del conjunto $\Bbb{Z} \setminus U_k$ donde $U_k = $ unidades $\pmod k$.

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Pregunta: Cuando son las series de $$\sum_{i\in \Bbb{N}} c_i \chi_i(x), \ \ \sum_{i \in \Bbb{N}} c_i \phi_i(x)$$ invertible con respecto a pointwise la multiplicación?

La primera serie siempre converge (siempre es una suma finita), mientras que el segundo de la serie podría no converger, por lo que asumir que converge si es necesario.

Answer 1

Esto probablemente no es una respuesta a su actual pregunta, pero para lo que vale:

He escrito una prueba del hecho de que la lcm-convolución de dos multiplicativo funciones aritméticas es multiplicativa (y no me refiero a la prueba de que he descrito en mis comentarios; es una forma diferente, limpiador de la prueba). Pero también he descubierto que esto es un resultado de von Sterneck y Lehmer de la $\leq$década de 1930. Ver Teorema 2.10.4 en mi 18.781 (Primavera De 2016): Piso y funciones aritméticas y las referencias allí contenidas. El vehículo principal de la prueba es el Teorema de 2.10.5, que puede ser reformulada de la siguiente manera:

Notaciones.

• Deje $A$ ser $\mathbb{C}$-álgebra de todas las funciones aritméticas (es decir, las funciones de $\left\{1,2,3,\ldots\right\}$ a $\mathbb{C}$).

• Deje $\star$ ser la de Dirichlet de convolución en $A$; esta es la operación binaria en $A$ definido por $\left(f \star g\right)\left(n\right) = \sum\limits_{d \mid n} f\left(d\right) g\left(\dfrac{n}{d}\right) = \sum\limits_{\substack{d \geq 1;\ e \geq 1; \\ de = n}} f\left(d\right) g\left(e\right)$ por cada dos funciones aritméticas $f$ e $g$ y cada entero positivo $n$.

• Deje $\widetilde{\star}$ ser el "lcm"-convolución en $A$; esta es la operación binaria en $A$ definido por $\left(f \widetilde{\star} g\right)\left(n\right) = \sum\limits_{\substack{d \geq 1;\ e \geq 1; \\ \operatorname{lcm}\left(d, e\right) = n}} f\left(d\right) g\left(e\right)$ por cada dos funciones aritméticas $f$ e $g$ y cada entero positivo $n$.

• Deje $\cdot$ ser el pointwise producto en $A$; esta es la operación binaria en $A$ definido por $\left(f \cdot g\right) \left(n\right) = f\left(n\right) g\left(n\right)$ por cada dos funciones aritméticas $f$ e $g$ y cada entero positivo $n$.

Teorema A. Deje $D$ ser el mapa que envía cada función aritmética $f$ a la función aritmética $F$ definido por $F\left(n\right) = \sum\limits_{d \mid n} f\left(d\right)$. (Tenga en cuenta que $F$ también puede ser descrito como $\underline{1} \star f$, donde $\underline{1}$ es la media aritmética de la función que está en constante $1$.) A continuación, $D$ es un isomorfismo de la $\mathbb{C}$-álgebra $\left(A, \widetilde{\star}\right)$ a de la $\mathbb{C}$-álgebra $\left(A, \cdot\right)$.

El mapa de $F$ y su inversa de preservar multiplicativity (de hecho, $F$ es de Dirichlet convolución con la función multiplicativa $\underline{1}$, mientras que su inversa $F^{-1}$ es de Dirichlet convolución con el multiplicativo función de Möbius $\mu$); por lo tanto, es fácil ver que el $\widetilde{\star}$ operación conserva multiplicativity. No digo la palabra "isomorfismo" en mi nota, ya que está escrito para un pre-abstracto-álgebra de la audiencia, pero lo que sí es bastante transparente de nuevo y con fuerza de argumento el uso de $F$ e $F^{-1}$.

Tenga en cuenta que el $\mathbb{C}$-álgebras $\left(A, \widetilde{\star}\right)$ e $\left(A, \cdot\right)$ son mutuamente isomorfos, pero no son isomorfos a la $\mathbb{C}$-álgebra $\left(A, \star\right)$. De hecho, el ex dos álgebras son isomorfo al producto directo de $\prod_{n \geq 1} \mathbb{C}$ y por lo tanto no son una parte integral de los dominios, mientras que el segundo el álgebra es una parte integral de dominio (esto puede ser demostrado por el mismo argumento que se utiliza para mostrar que el poder formal de la serie a través de una integral de dominio de forma integral dominio: es decir, si $f \in A$ e $g \in A$ son tanto distinto de cero, entonces podemos elegir un mínimo de $d \geq 1$ tal que $f\left(d\right) \neq 0$ y un mínimo de $e \geq 1$ tal que $g\left(e\right) \neq 0$; a continuación, $\left(f \star g\right) \left(de\right) = f\left(d\right) g\left(e\right) \neq 0$ e lo $f \star g \neq 0$).

Ahora, usted está tratando de definir un "dpc-convolución" en la $A$, lo que debería ser una operación binaria $\#$ satisfacción $\left(f \# g\right)\left(n\right) = \sum\limits_{\substack{d \geq 1;\ e \geq 1; \\ \gcd\left(d, e\right) = n}} f\left(d\right) g\left(e\right)$ por cada dos funciones aritméticas $f$ e $g$ y cada entero positivo $n$ para que la suma converge. Como habrán notado, la suma no siempre convergen, y no está claro qué tipo de convergencia es el tipo correcto para pedir. No me sorprendería que si permite la convergencia condicional, el $\#$ convolución incluso no ser asociativa.

La manera más fácil de evitar la convergencia de las preguntas es para restringir el mismo a finitely admite funciones aritméticas, es decir, funciones aritméticas $f$ para que el conjunto $\left\{n \geq 1 \mid f\left(n\right) \neq 0\right\}$ es finito. Es fácil ver que si $f$ e $g$ son dos finitely admite funciones aritméticas, entonces la función aritmética $f \# g$ está bien definido y también finitely compatibles. Por lo tanto, si $A_0$ denota el subespacio de $A$ que consta de todos los finitely admite funciones aritméticas, a continuación, $\left(A_0, \#\right)$ es un nonunital $\mathbb{C}$-álgebra. Tenga en cuenta que $\left(A_0, \star\right)$ e $\left(A_0, \cdot\right)$ e $\left(A_0, \widetilde{\star}\right)$ son nonunital $\mathbb{C}$-álgebras así. Por otra parte, los dos nonunital $\mathbb{C}$-álgebras $\left(A_0, \cdot\right)$ e $\left(A_0, \#\right)$ son isomorfos:

Teorema B. Deje $U$ ser el mapa que envía cada función aritmética $f \in A_0$ a la función aritmética $F$ definido por $F\left(n\right) = \sum\limits_{n \mid d} f\left(d\right)$ (donde la suma de rangos positivos múltiplos $d$ de $n$). A continuación, $U$ es un isomorfismo de la nonunital $\mathbb{C}$-álgebra $\left(A_0, \#\right)$ a la nonunital $\mathbb{C}$-álgebra $\left(A_0, \cdot\right)$.

Los dos isomorfo nonunital anillos de $\left(A_0, \#\right)$ e $\left(A_0, \cdot\right)$ no tienen unidad, mientras que los dos anillos de $\left(A_0, \widetilde{\star}\right)$ e $\left(A_0, \star\right)$ tener una unidad (es decir, en ambos casos, la función aritmética $\varepsilon$ que envía a$1$ a $1$ y todas las grandes enteros a $0$). Por lo tanto, los dos ex anillos no son isomorfos a cualquiera de los de este último. Por otra parte, los dos últimos anillos de $\left(A_0, \widetilde{\star}\right)$ e $\left(A_0, \star\right)$ no son isomorfos. De hecho, el anillo de $\left(A_0, \star\right)$ es una parte integral de dominio (por ser un sub-anillo de la integral de dominio $\left(A, \star\right)$), mientras que el anillo de $\left(A_0, \widetilde{\star}\right)$ no es (por ejemplo: elige dos números primos $p$ e $q$; ahora, para cada entero positivo $h$, vamos a $e_h \in A_0$ será la media aritmética de la función de envío de $h$ a $1$ y todos los demás números enteros positivos a $0$; a continuación, $\left(e_p - e_{pq}\right) \widetilde{\star} e_q = 0$ pero $e_p - e_{pq} \neq 0$ e $e_q \neq 0$).

Answer 2

Acerca de Darij Grinberg del isomorfismo :

• $f \star g(n) = \sum_{d | n}f(d)g(n/d)$

  $f\, \widetilde{\star}\, g(n) = \sum_{lcm(a,b)=n} f(a)g(b)$

  $f \cdot g(n)=f(n)g(n)$ dar tres álgebras de $(A,\estrella),(A,\widetilde{\estrella}), (A,\cdot)$ en el espacio vectorial de las complejas secuencias de valores de

• $1_{n=a}\, \widetilde{\star}\, 1_{m=b}(k) =1_{ lcm(a,b ) =k} $ e $1 \star 1_{ lcm(a,b )=n}(k) = \sum_{d | k} 1_{lcm(a,b )=d} =1_{ lcm(a,b )|k} = 1_{a|k} 1_{b | k} = (1 \star 1_{n=a}(k))\cdot(1 \star 1_{n=b}(k))$

• Junto con la distributividad de $\widetilde{\star}$ significa $f \mapsto 1 \star f$ es un álgebra de isomorfismo $(A,\widetilde{\star}) \to (A,\cdot)$

• Si $f,g$ son multiplicativos lo es $\mu \star ((1\,\widetilde{\star}\,f)\cdot (1\,\widetilde{\star} \, g)) = f \,\widetilde{\star}\, g$

• Deje $A_1 = \{ f \in A, f(1)=1\}$ e $A_0 = \{ f \in A, f(1)=0\}$ entonces $1_{n=1}+f \mapsto \log(1_{n=1}+f) = \sum_{m =1}^\infty \frac{(-1)^m}{m} ( \underbrace{f \star \ldots \star f}_m)$ es un grupo de isomorfismo $(A_1,\star) \to (A_0,+)$ con inverse $g \mapsto \exp(g) = 1_{n=1}+\sum_{m =1}^\infty \frac{1}{m!} ( \underbrace{g \star \ldots \star g}_m)$

• En $(A,.)$ cualquier $\pm 1$ valores de la secuencia es de orden multiplicativo $2$ , mientras que en $(A_0,+)$ , por tanto, en $(A,\star)$ ningún elemento distinto de $\pm 1$ es de orden multiplicativo $2$

  Por lo tanto $(A,\star),(A,\cdot)$ no puede ser isomorfo