¿Cómo probar que las exposiciones como$\sqrt{93+63\sqrt{85}} - \sqrt{143} \notin \Bbb{Z}$?

Question

El Problema:

Hay varios "rooty" ecuaciones que puede ser simplificado a un número entero, por ejemplo:

$$\sqrt{19 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{18} = 1$$ Porque: $$\sqrt{19 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{18} = \sqrt{18+\sqrt{72} + 1} - \sqrt{18} = \\ = \sqrt{18+2\sqrt{18}+1} - \sqrt{18} = \sqrt{(\sqrt{18}+1)^2}-\sqrt{18} = \\ = \sqrt{18}+1-\sqrt{18} = 1$$

Sin embargo, en el título, tenemos la expresión de: $$\sqrt{93+63\sqrt{85}} - \sqrt{143} \approx 14$$ Y el uso de una calculadora científica que, de hecho, consigue $14$ como la respuesta. Pero el uso de una alta precisión de la calculadora en línea que usted consiga la respuesta verdadera: $$\sqrt{93+63\sqrt{85}} - \sqrt{143} = 14.00000000005032...$$

La Pregunta:

Es allí una manera general para demostrar que un "rooty" expresión (como el que está en el título) $\notin \Bbb{Z}$? Incluso si la expresión está muy cerca de un número entero, e incluso de la alta precisión de las calculadoras no puede darle la respuesta correcta?

Existe un procedimiento general o algoritmo que le dice a usted para asegurarse de que el número es o no es la $\in \Bbb{Z}$?

Answer 1

En este ejemplo, si $\sqrt{93+63\sqrt{85}}-\sqrt{143}=t\in\Bbb Q$ , entonces $$93+63\sqrt{85}=(t+\sqrt{143})^2$ $ pero eso implica que $\Bbb Q(\sqrt{85})=\Bbb Q(\sqrt{143})$ es falso. Entonces, no solo su expresión no es un entero, tampoco es racional.

Este tipo de argumento funcionará para la mayoría de las expresiones como $\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt c$ pero no para todas las expresiones "rooty" posibles.

Answer 2

Un método más general que funciona para este tipo de problemas es primero encontrar el polinomio mínimo de la raíz de la expresión (este es el polinomio de que la expresión es la solución y es también el menor grado posible). Existe un algoritmo para esto y usted puede utilizar wolframalpha. Esto sólo funciona para los números algebraicos sin embargo.

Por ejemplo el polinomio mínimo es $$x^8-944x^6-446946x^4-455778560x^2+112134658225$$

Por la integral de la raíz teorema de los divisores de a$112134658225$ son la única posibilidad entero soluciones a este polinomio. Los divisores son: $1,5,25,66973,334865,1674325,...$ , y se hacen más y más grandes. También sabemos que la raíz de la expresión es la solución a este polinomio y que es cerca de la $14$. Sin embargo, ninguno de los divisores es en cualquier lugar cerca de $14$ así que nuestra raíz expresión debe ser irracional solución.

Este método sólo funciona para cuando el primer coeficiente es $1$ pero puede ser generalizado aún más con la raíz racional teorema.

También recomiendo ver mathologers video aquí : https://www.youtube.com/watch?v=D6AFxJdJYW4 que más o menos debe responder a algunas preguntas que usted pueda tener.

Answer 3

Deje $K_0:=\Bbb{Q}$ e de $n\geq0$ definir el campo $K_{n+1}$como $$K_{n+1}:=K_n(\{\sqrt{x}:\ x\in K_n\})=K_n^{1/2},$$ y establezca $K:=\bigcup_{n\geq0}K_n$. Deje $R\in K$ ser un rooty expresión, y deje $n\in\Bbb{N}$ ser tal que $R\in K_n$. Deje $x\in K_{n-1}$ ser que no son cuadrados. A continuación, el mapa $$\sigma_x:\ K_n\ \longrightarrow\ K_n:\ \sqrt{x}\ \longmapsto\ -\sqrt{x},$$ se extiende a una $K_{n-1}$-lineal automorphism de $K_n$ que corrige $K_{n-1}$ pointwise. Así que si $\sigma_x(R)\neq R$ entonces $R\notin\Bbb{Z}$. Por otro lado, si $\sigma_x(R)=R$ entonces $R\in K_{n-1}$, y podemos repetir el mismo $x'\in K_{n-1}$ que no es un cuadrado. Con el tiempo esto se va a producir la mínima $n\in\Bbb{N}$ tal que $R\in K_n$.

Por ejemplo, para $R_1:=\sqrt{19 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{18}$ tenemos $R_1\in K_2$ y nos gustaría comprobar si $x:=19+6\sqrt{2}$ es un cuadrado en $K_1$ (claramente $18$ es un cuadrado en $K_1$ porque $18\in K_0$). Si es así, entonces es un cuadrado en $\Bbb{Q}(\sqrt{2})$, y $$19+6\sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})^2=(a^2+2b^2)+2ab\sqrt{2},$$ muestra rápidamente que $(a,b)=(1,3)$ es una solución. Por lo tanto $$R_1=\sqrt{19 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{18}=1+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=1.$$

Podemos tratar de la misma para $R_2:=\sqrt{93+63\sqrt{85}} - \sqrt{143}\in K_2$. Nos gustaría comprobar si $x:=93+63\sqrt{85}$ es un cuadrado en $K_1$. Si es así, entonces es un cuadrado en $\Bbb{Q}(\sqrt{85})$, pero $$93+63\sqrt{85}=(a+b\sqrt{85})^2=(a^2+85b^2)+2ab\sqrt{85},$$ rápidamente se comprueba que no tiene soluciones racionales. A continuación, el automorphism de $K_2$ definido por $$\varepsilon_x:\ K_2\ \longrightarrow\ K_2: \ \sqrt{93+63\sqrt{85}}\ \longmapsto\ -\sqrt{93+63\sqrt{85}},$$ corrige $K_1$ pointwise, y por lo tanto $$\sigma_x(R_2)=-\sqrt{93+63\sqrt{85}}+\sqrt{143}\neq R_2,$$ por lo $R_2\notin K_1$. En particular, $R_2$ no es un número entero.