Deje que$M$ sea un n-colector suave ($n\geq 1$). Pruebe que$M$ admite un difeomorfismo$f : M \to M$ que no es la identidad

Question

No sé cómo encontrar una prueba para esto. Creo que tengo que crear una función de relieve y hacerlo localmente en cada gráfico y luego extenderlo a toda la variedad. Tal vez yo estoy equivocado..

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Asumo $n = \dim M \ge 1$.

La forma más fácil que conozco a ver esto es para recoger cualquier suave, no-idéntico-sección cero $X$ de $TM$, y de considerar su flujo de $\phi_X(x, t)$:

$\dot \phi_X(x, t) = X(\phi_X(x, t)); \tag 1$

tenemos

$\phi_X(x, 0) = x, \; \forall x \in M, \tag 2$

pero es fácil ver a partir de (1) (por si es necesario el uso de coordenadas locales cerca de $x$) $X(x) \ne 0$ para suficientemente pequeño $\epsilon$

$\phi_X(x, \epsilon) \ne x. \tag 3$

Por lo tanto $\phi_X(x, \epsilon)$ es una no-identidad diffeomorphism de $M$.

Parece que también es posible, como el comentario de secuencia sugiere, para recoger una coordenada de la bola sobre algún punto y directamente la construcción de un adecuado diffeomorphism en que la pelota, un proceso que creo que también es relativamente sencillo.

Answer 2

Usted puede hacer esto sin campos vectoriales.

Veamos primero cómo el caso de $n=2$ se reparte. Para cualquier $0\leq \theta\leq 2\pi$, denotan por $R_\theta$ la matriz de rotación de $\mathbb R^2$ de ángulo de $\theta$. Deje $D^2$ ser la unidad de disco cerrado de $\mathbb R^2$.

Considere la función $D^2\xrightarrow \psi D^2$ dada por $$x\mapsto R_{2\pi||x||^2}(x).$$

Como la función de $x\mapsto ||x||^2$ es $C^\infty$ a $D^2,$ lo es $\psi$.

La función de $x\mapsto R_{-2\pi||x||^2}(x)$ es $C^\infty$ y es la función inversa de la $\psi$, por lo tanto $\psi$ es un diffeomorphism.

Observe que $\psi\upharpoonright\partial D^2$ es la identidad. Por lo tanto si $M$ es una superficie, podemos obtener un subconjunto $D$ de $M$ diffeomorphic a $D^2$, y el uso de $\psi$ podemos obtener una diffeomorphism $D\rightarrow D$ que no es la identidad, pero la identidad en el límite de $D$. Esta función puede ser extendida a una diffeomorphism de $M$ que no es la identidad.

Para el caso de $n\geq 3$ considera la función $D^n\rightarrow D^n$ dada por $$x=(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)\mapsto (R_{2\pi||x||^2}(x_1,x_2),x_3,\ldots,x_n),$$ y argumentan como antes.