Encontrar todas las funciones $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tal que para todo $x,y,z \in \Bbb{R} $ , $f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tal que para todo $x,y,z \in \Bbb{R} $ , $f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z)$

Me dijeron que hiciera esto probando $f$ es inyectiva y suryente. Lo he demostrado de esta manera : ajuste $y=z=0 $ y luego $f(f(x))=x+f^2(0)$ . Para cualquier $b \in \Bbb{R}$ , $x+f^2(0)=b$ tiene una solución, entonces $f(f(x))=b$ tiene una solución y se deduce que $f$ es suryente. Para $f(x)=f(y)$ , $f(f(x))=f(f(y))$ Así que $x+f^2(0)=y+f^2(0)$ Así que $x=y$ . Eso es $f$ es inyectiva. Pero cómo encontrar $f$ No tengo ni idea.

Answer 1

Sustituir $(x,y,z)=(0,0,1),$ entonces $x=z=0$ . Obtenemos $f(f(0))=f(0)f(1)$ y $f(f(0))=f(y)f(0)$ . Por lo tanto, para $f(0)\neq 0$ , $f(y)=f(1)$ para todos $y$ . Dejemos que $f(1)=c$ ya que es constante. Sustituyendo esto en nuestra ecuación original se obtiene $c=x+c^2$ lo que obviamente no es cierto para todos $x$ . Por lo tanto, $f(0)=0$ .

Sustituyendo $x=0$ encontramos $f(yz)=f(y)f(z)$ para que $f$ es multiplicativo. Ahora sustituye $y=z=0$ para mostrar $f(f(x))=x$ . Por lo tanto, si sustituimos $x\to f(x)$ encontramos $$f(x+yz)=f(x)+f(y)f(z)=f(x)+f(yz)$$ para que $f$ es tanto multiplicativo como aditivo. Así, $f(x)=x$ o $f(x)=0$ . La comprobación de ambas muestra que la única función que satisface la ecuación dada es $f(x)=x$ .