Herbert Spencer dice en alguna parte que la parábola de un objeto balístico es en realidad una porción de una elipse que no se distingue de una parábola, ¿es eso cierto? Parecería plausible ya que las órbitas de los satélites son elipses y las trayectorias de la artillería son órbitas interrumpidas.
La diferencia entre los dos casos es la dirección del vector gravedad. Si la gravedad tira hacia un punto (como vemos en la mecánica orbital), los objetos balísticos siguen una trayectoria elíptica (o a veces hiperbólica). En cambio, si la gravedad apunta en una dirección constante (como solemos suponer en los problemas de física terrestre: tira "hacia abajo"), obtenemos una trayectoria parabólica.
En las escalas de tiempo de estas trayectorias que llamamos parabólicas, la diferencia de dirección de la gravedad desde el inicio hasta el final del vuelo es tan tremendamente mínimo, que podemos tratarla como una perturbación del vector "abajo" y luego ignorarla por completo. Esto funciona hasta que el objeto vuela lo suficientemente rápido como para que el cambio del vector gravedad empiece a tener un efecto no trivial.
A velocidades orbitales, el efecto es tan poco trivial que ni siquiera intentamos modelarlo como un vector "hacia abajo" más una perturbación. Nos limitamos a modelar el vector que apunta hacia el centro del cuerpo gravitatorio.
Para el modelo orbital, la magnitud del vector cambia (como $1/r^2$ ) así como la dirección.
" Esto funciona hasta que el objeto vuela lo suficientemente rápido como para que el vector de gravedad cambiante comience a tener un efecto no trivial " o funciona siempre que el campo de gravedad constante sea una buena aproximación. Creo que esta redacción es mejor, porque es una relación directa, ahora por cualquier razón que cambie (velocidad, escala de tiempo, masa, etc.) el modelo simplificado deja de funcionar. También deja claro que la parábola no es una parte de la elipsis, sino la aproximación también. (Notabene: el modelo de gravedad radial también deja de funcionar en determinadas condiciones).
Una forma fácil de diferenciar entre una órbita elíptica muy excéntrica y una órbita parabólica verdadera es que un objeto en una órbita parabólica viaja exactamente a su velocidad de escape. En astronomía, estas órbitas son tan raras como las circulares, es decir, no existen. Un objeto muy por debajo de la velocidad de escape puede estar en una órbita elíptica que tiene una excentricidad muy cercana a 1, lo que hace que se parezca mucho a una órbita parabólica cuando sólo se examina una parte de la curva.
Un proyectil relativamente lento en la superficie de la Tierra es en realidad una elipse de curva cerrada, y si la Tierra se apartara de su camino reduciéndose al tamaño de una pelota de baloncesto con el mismo campo gravitatorio, el objeto volvería a su lugar original en una larga trayectoria elíptica en forma de cigarro.
Por otro lado, si un objeto viaja más rápido que su velocidad de escape, está en una órbita hiperbólica.
Para ampliar un poco más: la trayectoria de un proyectil balístico newtoniano bajo la influencia de otra masa única es siempre una sección cónica. Si la excentricidad es exactamente 0, su órbita es un círculo, si es menor que 1, la órbita es una elipse, si es exactamente 1, la órbita es una parábola, y si es mayor que 1, la órbita es una hipérbola. Sin embargo, el propio concepto de "valor exacto" para una medida física no es definible (problemas graves en Newton, y estrictamente no definibles en QM). Así que las órbitas circulares y parabólicas verdaderas no existen en la realidad.
Porque en la película Figuras ocultas la cuestión intrigante era pasar de las matemáticas de la elipse a las de la parábola. Gracias
Lo que se dice en esta respuesta es, claro. Pero no creo que sea a esto a lo que alude la paráfrasis de la pregunta.
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