no puede entender un simple problema de divisibilidad

Question

Estoy leyendo este libro. En el ejemplo 1.1 dicen que hay que demostrar este problema.

probelm

Sea $x$ y $y$ sean números enteros. Demostrar que $2x + 3y$ es divisible por $17$ si $9x + 5y$ es divisible por $17$

la solución que aportaron es

$$17 \mid (2x + 3y) \implies 17 \mid [13(2x + 3y)]$$ o $$17 \mid (26x + 39y) \implies 17 \mid (9x + 5y)$$ y a la inversa,

$$17 \mid (9x + 5y) \implies 17 \mid [4(9x + 5y)]$$ o $$ 17 \mid (36x + 20y) \implies 17 \mid (2x + 3y)$$

No puedo entender cómo la conclusión de este

$$17 \mid (26x + 39y) \implies 17 \mid (9x + 5y)$$ implicación y esta

$$17 \mid (36x + 20y) \implies 17 \mid (2x + 3y)$$

la única regla que conozco es

si $\;a|b\;$ entonces $\;a|bk$ .

donde a,b y k son números enteros. no podemos deducir las dos implicaciones anteriores (eso me confunde) usando esta regla ¿no? ¿hay algún otro punto para determinar que las dos implicaciones anteriores son ciertas?

Answer 1

Pistas: $26x=9x+17x$ , $39y=5y+17y+17y$

Answer 2

Una estrategia útil en este tipo de problemas puede ser eliminar una de las variables. Así que multiplica $2x+3y$ por $5$ multiplica $9x+5y$ por $3$ y resta. Obtenemos $$5(2x+3y)-3(9x+5y)=-17x.$$ Supongamos ahora que $17$ divide $2x+3y$ . Desde $17$ también divide $-17x$ se deduce que $17$ divide $3(9x+5y)$ . Pero $17$ es relativamente primo de $3$ Así que $17$ divide $9x+5y$ .

Un argumento muy similar demuestra que si $17$ divide $9x+5y$ entonces $17$ divide $2x+3y$ .

Answer 3

También puede utilizar las reglas $$ a\mid b\quad\text{and}\quad a\mid c\quad\Rightarrow\quad a\mid(b+c)\quad\text{and}\quad a\mid(b-c) $$ que debería ser útil en este caso.