$\sin x$ se aproxima a $x$ para ángulos pequeños

Question

En física, especialmente en las ondas, se aprovecha el hecho de que para ángulos pequeños (menos de $\pi/12$ -ish), el valor de la función seno de un ángulo se aproxima bastante al valor del propio ángulo (en radianes, por supuesto). ¿Puede alguien dar una explicación matemática de por qué esto es así?

Answer 1

Sugerencia

Cualquier función matemática puede ser, al menos localmente, aproximada por las llamadas expansiones de Taylor o Mc Laurin.

Para simplificarlo al máximo, la tangente a una curva es, en el punto en el que se define, una aproximación local de la curva.

Entonces, escribe la ecuación de la tangente a la curva $y=sin(x)$ en $x=0$ y se obtendrá, para la línea tangente, $y = 0 + (x-0) = x$ . Así que, cerca de $x=0$ , $sin(x)$ está cerca de $x$ .

Utilizando el mismo enfoque, podrías demostrar por ti mismo que, cerca de $x=0$ , $e^x$ está cerca de $1+x$ que $log(1+x)$ está cerca de $x$ y así sucesivamente. Sin duda, las aproximaciones pueden hacerse cada vez mejor a costa de más términos.

Answer 2

Sugerencia

Consideremos la expansión de Taylor de $\sin{x}$ sobre $x = 0$ .

¡Salud!

Answer 3

Solución alternativa, si no quieres lidiar con la expansión en serie, podrías calcular

$$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1\quad\text{and/or}\quad \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1$$

Así, $\sin x \sim x$ para $x$ cerca de $0$ .

Answer 4

De hecho, hay una manera de angular este comportamiento útil sin tales series. En el análisis con números reales $\sin x$ siempre será sensiblemente diferente de $x$ . Sin embargo, en un marco que implique un continuo enriquecido infinitesimal como el hiperreales la sintaxis más rica permite formular ideas como la sustituibilidad de $\sin x$ por $x$ para "pequeño" $x$ donde "pequeño" se interpreta como infinitesimal . Por ejemplo, el problema de las pequeñas oscilaciones del péndulo en el que se quiere argumentar que la solución viene dada básicamente por el movimiento armónico, admite una formalización rigurosa en este entorno. En particular, se puede dar una prueba limpia del hecho de que el periodo es independiente de la amplitud sin necesidad de que nada tienda a otra cosa.

Answer 5

Hay una observación geométrica muy sencilla que se puede hacer. El arco de una circunferencia de radio 1 es igual al ángulo x (en radianes), y para x pequeño el arco se aproxima a sen x. ¡Dibuja esto y lo verás!