Resolución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de 2º orden

Question

Necesito resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

$$ \ddot{x} = 8x + 4y \\ \ddot{y} = -4x$$

Esto es lo que he hecho hasta ahora: He reducido este sistema a un sistema de primer orden, diciendo $x_1 := x, \ x_2 := \dot{x}, \ x_3 := y, \ x_4 := \dot{y}$ . De este modo, se obtiene el sistema $\dot{X} = A \cdot X$ con

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 8 & 0 & 4 &0\\0 & 0 & 0 &1\\ -4 & 0 & 0 &0\end{pmatrix} \ \ \ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4 \end{pmatrix}$$

Entonces he determinado los valores propios $\lambda_1 = 2, \ \lambda_2 = -2$ con los correspondientes vectores propios $v_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & -2\end{pmatrix}^{T}$ y $v_2 = \begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & 2\end{pmatrix}^{T}$ .

Ahora lo que me cuesta es: ¿cómo determino mi conjunto de soluciones fundamentales? Sé que los términos $c_1e^{2t}$ y $c_2e^{-2t}$ son parte de ella con seguridad, pero como tengo dos valores propios dobles, también debería tener una solución algo así como $te^{2t}$ resp. $te^{-2t}$ . Pero no veo cómo se unen todos.

Answer 1

Tienes un valor propio $\lambda$ y su vector propio $v_1$ . Así que una de sus soluciones será $$ x(t) = e^{\lambda t} v_1$$ Sin embargo, como has notado, al tener sólo dos valores propios (cada uno con un vector propio), sólo tienes dos soluciones en total, y necesitas cuatro para formar un conjunto de soluciones fundamentales. Para cada valor propio $\lambda$ , calculará lo que se llama un vector propio generalizado $v_2$ que es la solución a $$ (A - \lambda I)v_2 = v_1, \quad \text{where } (A - \lambda I)v_1 = 0;$$ en otras palabras, $v_1$ era el primer vector propio. Entonces esto aporta una nueva solución $$ x(t) = e^{\lambda t} v_2 + te^{\lambda t} v_1 $$ Ahora tienes dos soluciones linealmente independientes correspondientes a un valor propio. Ahora repite el proceso para el segundo valor propio para obtener los cuatro elementos de tu conjunto de soluciones fundamentales.

Nota : Lo que yo llamo $v_2$ NO es lo mismo que lo que está llamando $v_2$ en su pregunta.

Answer 2

De hecho, utilizar el método clásico de sustitución debería ser incluso más sencillo:

$\begin{cases}\ddot{x}=8x+4y\\\ddot{y}=-4x\end{cases}$

$\therefore\ddddot{x}=8\ddot{x}+4\ddot{y}=8\ddot{x}-16x$

$\ddddot{x}-8\ddot{x}+16x=0$

$x=C_1te^{2t}+C_2te^{-2t}+C_3e^{2t}+C_4e^{-2t}$

$\dot{x}=2C_1te^{2t}+C_1e^{2t}-2C_2te^{-2t}+C_2e^{-2t}+2C_3e^{2t}-2C_4e^{-2t}=2C_1te^{2t}-2C_2te^{-2t}+C_2e^{-2t}+(C_1+2C_3)e^{2t}+(C_2-2C_4)e^{-2t}$

$\ddot{x}=4C_1te^{2t}+2C_1e^{2t}+4C_2te^{-2t}-2C_2e^{-2t}+2(C_1+2C_3)e^{2t}-2(C_2-2C_4)e^{-2t}=4C_1te^{2t}+4C_2te^{-2t}+4(C_1+C_3)e^{2t}-4(C_2-C_4)e^{-2t}$

$\therefore y=\dfrac{\ddot{x}}{4}-2x=C_1te^{2t}+C_2te^{-2t}+(C_1+C_3)e^{2t}-(C_2-C_4)e^{-2t}-2C_1te^{2t}-2C_2te^{-2t}-2C_3e^{2t}-2C_4e^{-2t}=-C_1te^{2t}-C_2te^{-2t}+(C_1-C_3)e^{2t}-(C_2+C_4)e^{-2t}$